Автономные системы, символические уравнения

Введём проходное сопротивление:

Высший порядок уравнения равен удвоенному числу обобщённых переменных, т. е. удвоенному числу степеней свободы. Этот пример мы рассматривали операторным методом, который применим только к линейным системам.

1.3. Автономные системы, символические уравнения Вопрос 2

Общей теории нелинейных систем нет, поэтому рассматривают частные случаи, например, если система содержит безынерциальный нелинейный элемент и линейную инерциальную подсистему. На рис. 7 показана такая система, для которой

Для анализа этой системы (для составления описывающего её уравнения) можно воспользоваться методом символических уравнений. Для этого формально записываются законы Кирхгофа в операторной форме, но вместо изображений токов и напряжений по Лапласу записываются их линейные значения, причём линейные элементы описываются операторным сопротивлением, а нелинейные — своей ВАХ. Полученные уравнения рассматриваются как алгебраические относительно p и преобразовываются так, чтобы p не было в знаменателе; после p заменяется оператором дифференцирования, т. е. .

Применим это правило к генератору на туннельном диоде (рис. 8). Чтобы пошла генерация, необходимо рабочую точку вынести в область отрицательного дифференциального сопротивления (как показано на рис. 9).

Будем действовать по правилу, составим формальное уравнение:

.

Найдём операторное сопротивление контура (линейной инерциальной подсистемы), обведённого штриховой линией на рис. 8: здесь последовательное соединение индуктивности и сопротивления в параллель с конденсатором, т. е.

.

Введём другие обобщённые координаты (относительно рабочей точки):

,

тогда можно записать:

Символическое уравнение цепи в общем случае имеет вид:

т. е. полученное уравнение (1.13) удовлетворяет условию (1.14). Дальше получаем ДУ:

;

причём, так как генератор будет работать в области выбранной нами рабочей точки, то можно приблизительно заменить i(u) на i0, тогда

.

Рассмотрим генератор на транзисторе, представленный на рис. 10. Линейной подсистемой в

называемую трёхточечную схему (рис. 12). В этом случае общее уравнение генератора на управляемом источнике, охваченного обратной связью через линейный четырёхполюсник (рис. 11) имеет вид:

где (для трёхточечной схемы) операторное сопротивление:

В качестве примеров рассмотрим генератор с автотрансформаторной связью (рис. 13) и схему Колпитца (рис. 14). Подставив соответствующие Z1(p), Z2(p) и Z3(p) в уравнение (1.17) получим следующие операторные сопротивления:

для генератора с автотрансформаторной связью (индуктивной трёхточки);

для схемы Колпитца (емкостной трёхточки).

Подставляя (1.18) и (1.19) в уравнение (1.16), получим ДУ, описывающие колебательные процессы в индуктивной трёхточке: