Линейный контур с затуханием

(3.1)

Введём так называемую функцию диссипации

.

Теперь продифференцируем уравнение (3.1) по времени, тогда

или .

Это уравнение по сути дела есть уравнение закона Ньютона: ускорение равняется действующей силе. Здесь F(x) — потенциальная сила, зависящая от координаты, а f(x, y)/y — сила трения, зависящая от скорости.

В физически реализуемых колебательных системах диссипация всегда связана с движением. Для покоящегося тела диссипации быть не должно, т. е. f(x, y)/y ® 0 при y ® 0. Мы сказали, что для диссипативных систем dW/dt < 0, а это значит, что функция f(x, y) > 0. Следовательно, функция f(x, y)/y имеет знак совпадающий со знаком y.

Наличие диссипации в системе изменяет характер особых точек. Если для математического маятника особыми точками были центр и седло, то для диссипативных систем вместо центра появляются фокус или узел, в зависимости от величины диссипации.

Для анализа систем с малыми диссипациями и малыми нелинейностями существуют специальные приближённые методы, в частности, метод медленно меняющихся амплитуд. Рассмотрим этот метод на задачах, имеющих аналитическое решение (чтобы было с чем сравнивать), а потом уже будем применять там, где нет аналитических решений.

3.1. Линейный контур с затуханием

Откуда просто получаем уравнение фазовых траекторий

Это уравнение не очень удобно, так как в правой части зависит как от x, так и от y, поэтому введём новую переменную z = y/x, тогда (3.3) перепишем в виде

.

Выполним некоторые элементарные преобразования:

,

или, проинтегрировав,

;

мы обозначили . Запишем z через x и y, и возведём в exp:

У нас получились уравнение фазовой траектории в явном виде. Придадим этому уравнению более удобную форму. Для этого введём ещё одни новые переменные u = y + dx, v = wx. Если w0 > d (затухание мало), то w действительное число, тогда (3.4) принимает вид:

.

Перейдём к полярным координатам: v = rcosj, u = rsinj, тогда

Интегральная кривая соответствующая этому случаю изображена на рис. 23.

Если затухание велико, т. е. w0 < d, тогда w2 отрицательное, и w — мнимое число (w = iq). Опять, путём несложных преобразований, получим уравнение

Фазовый портрет для этого случая показан на рис. 24.

При w0 > d мы имеем дело с затухающими колебаниями линейного осциллятора, фазовый портрет которых представляет собой совокупность спиралей, стягивающихся в особую точку типа фокус. Для w0 < d система становится апериодической, и на фазовой плоскости движения изображаются фазовыми траекториями, имеющими вид кривых, сходящихся в особую точку типа узел без обхода вокруг неё. В обоих случаях в диссипативных системах особые точки (фокус и узел) устойчивы и соответствуют единственному положению равновесия системы — состоянию покоя, к которому система приходит из любых начальных условий, при любом начальном смещении или скорости.

3.2. Метод медленно меняющихся амплитуд, укороченные уравнения

Вопрос 7

Метод медленно меняющихся амплитуд (ММА) применим к системам с малыми нелинейностью и диссипацией и основан на известной теореме, что свойства системы и решение описывающего её ДУ изменяются непрерывно при изменении параметров этого уравнения. При малых нелинейностях и диссипации движение в системе будет близко к чисто гармоническому, соответствующему линейной консервативной системе, уравнение которой имеет вид

.

Введём безразмерное время t = w0t, тогда в этом масштабе времени уравнение будет таким

.

Для системы близкой к линейной консервативной уравнение выглядит так:

где f — произвольная регулярная, в общем случае нелинейная функция координаты q и скорости её изменения, значения которой остаются малыми по сравнению со значениями членов, стоящих в левой части уравнения (3.7) (в силу слабой нелинейности параметров и малых потерь в системе).

Выберем в уравнении (3.7) масштаб по координате q и перейдём к безразмерной переменной x так, чтобы при колебаниях изменение x было порядка единицы, тогда правая часть (3.7) должна быть много меньше единицы:

При m = 0 решением уравнения будут чисто гармонические колебания

,

где a и b — постоянные, задаваемые начальными условиями.

При 0 < |m| < 1 будем считать, что решение может быть записано в виде

где u(t) и v(t) — медленно меняющиеся функции (в сравнении с cos(t)), так что

, .

Но получается, что одной функции x(t) ставятся в соответствие две функции u(t) и v(t), т. е. задача становится заведомо неоднозначной. Можно произвольно задать одну из функций и подобрать к ней вторую, при этом, если мы не угадаем, то эта функция будет быстро меняться. Потребуем, чтобы функция x(t) удовлетворяла условию:

для чего необходимо и достаточно, чтобы

При выполнении условия (3.11) уравнение-связь (3.9) становится однозначным, т. е. становится однозначной связь функций x(t), u(t) и v(t).

Используя уравнения (3.9) — (3.11), преобразуем (3.8): продифференцируем (3.10) по времени и сложим с (3.9) с учётом (3.8):

Умножим (3.12) на sin(t), а (3.11) на cos(t) и вычтем из первого второе; потом умножим (3.12) на cos(t), а (3.11) на sin(t) и сложим их, тогда получим систему:

Таким образом, мы получили систему двух уравнений первого порядка (3.13), которая, естественно, полностью эквивалентна одному уравнению второго порядка (3.8). Она не даёт никаких преимуществ в смысле упрощения задачи. Существенный в шаг в сторону нахождения приближенного решения можно сделать, если воспользоваться условием медленного изменения функций u и v за период. Заменим мгновенные значение u и v их средними значениями за каждый период колебаний, равный 2p. Производя усреднение по периоду, мы приходим к системе так называемых укороченных уравнений

Эта система уже не содержит в правой части в явном виде времени t, и во многих случаях её можно легко проинтегрировать, получая временной ход медленно меняющихся функций u(t) и v(t), являющихся амплитудами искомого решения.

Систему уравнений (3.14) можно получить из системы (3.13), если правые

части разложить в ряд Фурье как периодические функции с периодом 2p и отбросить все осциллирующие члены (в системе (3.14) записаны только первые слагаемые ряда). В этом отбрасывании осциллирующих членов и заключается "укорочение", приводящее от системы уравнений, точно соответствующей исходному уравнению, к приближенным укороченным уравнениям.

Переход от переменных x, к переменным u, v эквивалентен переходу от фазовых координат x, к вращающейся системе координат u, v. Это означает, что система координат u, v в координатной плоскости x, вращается с угловой частотой, равной единице.

Рассмотрим теперь другой вариант метода ММА с переходом от исходных координат x, к радиальным координатам — амплитуде X и фазе q, которые также являются медленными переменными в масштабе времени t.

Будем теперь искать решение исходного уравнения (3.8) в виде

Введём замену переменной :

для чего необходимо положить

Дальше дифференцируем (3.16) по времени, с учётом равенства (3.17), и вместе с (3.15) подставляем в исходное уравнение (3.8), тем самым, выражая его через новые переменные X и q.

Из (3.17) и (3.18) находим точную систему дифференциальных уравнений, описывающих процессы в системе

Здесь X(t) и q(t) являются медленными функциями времени t, что позволяет усреднить правые части (3.19) за период, считая, что за это время X и q не меняются. Указанная процедура усреднения приводит к системе укороченных уравнений вида

Мы обозначили t1 = t + q.

Найдём спектр ММА колебания. Для этого запишем сигнал ММА (3.15) в реальном масштабе времени:

.

Предполагается, что соотношение (3.16) выполняется, а центральная частота w0 выбирается так, чтобы амплитуда колебаний X(t) менялась как можно медленнее. Условие медленного изменения амплитуды принимает вид: