Напряжённо-деформированное состояние балки

Напряжённо-деформированное состояние балки при прямом поперечном изгибе

Внешние нагрузки.

1. В простейшем случае прямого изгиба балки внешние нагрузки действуют в одной (вертикальной) плоскости перпендикулярно оси балки.

2. На балку могут действовать силы:

А) сосредоточенные

Б) распределённые по длине (встречаются в строительстве чаще)

В) изгибающие моменты

Анализ внутренних силовых факторов начинается с определения полной системы внешних сил.

3. Рассмотрим горизонтальную балку прямоугольного сечения на двух опорах и загруженную равномерно распределённой вертикальной нагрузкой q.

4. Поперечное сечение балки имеет высоту h

5. Если балка опирается на опоры свободно, то одна опора считается шарнирно-неподвижной, другая – шарнирно-подвижной. Такая балка называется простой.

Деформации

1. Если до загружения балка представляла собой прямолинейный стержень, то под нагрузкой стержень искривился и появился изгиб:

А) со стороны нагрузки стержень стал вогнутым (сжат);

Б) с противоположной стороны – выпуклым (растянут)

2. Деформации (неравномерное распределение)

А) при изгибе продольные волокна деформируются по-разному: одни удлиняются в нижней части балки, другие укорачиваются – в верхней части балки;

Б) эти удлинения и укорочения различны в зависимости от расположения волокон по отношению к середине сечения: чем ближе к краю, тем больше деформация.

В) нейтральная ось (слой) при искривлении свою длину не меняет. Нейтральная ось – разделяет участки сжатия и растяжения, меняет своё положение при увеличении нагрузки

3. Прогиб – перемещения точек балки вниз вследствие искривления оси. Наибольший прогиб – в середине балки

fmax = 5384 ∙ ql4EJ

Внутренние усилия

1. В любом сечении по длине балки возникают:

А) изгибающие моменты Мх и

Б) поперечные силы Qx

2. Величина Мх и Qx зависит от:

А) расчётной схемы балки;

Б) характера нагрузки

3. Эпюры Мх и Qx для простой балки от равномерно распределённой нагрузки

4. Наибольшее значение Мх определяют по формуле

Мхmax = ql28

5. Наибольшее значение Qх определяют по формуле

Qхmax = ql2

Напряжения

Нормальные напряжения

1. В соответствии с неравномерным распределением деформаций: напряжения по высоте сечения не одинаковы.

2. Наибольшее напряжение соответствует наибольшим деформациям (закон Гука)

3. Краевые части поперечного сечения, наиболее удалённые от середины по высоте сечения, находятся в напряжённом состоянии.

4. Следовательно, при определении напряжений при изгибе не обходимо учитывать не только количество материалов (Sсечения), но и его распределение по высоте сечения.

5. Наиболее выгодными при изгибе оказываются сечения, в которых основная масса материала расположена по краям элемента.

6. Распределение напряжений

А) в крайних верхних волокнах возникают наибольшие сжимающие напряжения σхсж. Условно принимают отрицательными → σхmin (верхние волокна укорачиваются)

Б) в крайних нижних — наибольшие растягивающие напряжения σхраст. Условно принимают положительными → σхmax (нижние волокна удлиняются)

В) на уровне нейтрального слоя (оси) σх = 0

7. Удлинения и укорочения зависят от расстояния до нейтрального слоя (оси)

8. Также от этого расстояния зависят и нормальные напряжения, т. е. они изменяются по линейному закону. График изменения нормальных напряжений σх (эпюра нормальных напряжений) — в

σхmax = σхmin = Mx : bh26 → σхmax = σхmin = MxWx

Момент сопротивления WX = bh26 – геометрический показатель сопротивления прямоугольного сечения изгибу (табличная величина)

(по аналогии аb — геометрический показатель сопротивления прямоугольного сечения растяжениюсжатию)

9. Из формулы – если размеры балки b и h одинаковы по длине балки, то нормальные напряжения

σх напрямую зависят от изгибающего момента Mx – чем больше изгибающий момент, тем больше нормальное напряжение.

10. В середине балки изгибающий момент достигает максимального значения и → напряжения (max и min) будут наибольшими для всей балки.

Касательные напряжения

1. Определяются по формуле Журавского

τу = QxSxJxb

Qx – поперечная сила в рассматриваемом сечении

Sx – статический момент сечения (по формулам или из таблиц)

Jx – момент инерции сечения

b – ширина сечения балки

Прим. Для описания явления изгиба используют такие характеристики, которые учитывают распределение материала по высоте сечения (эти характеристики называются геометрическими)

2. Из формулы – касательные напряжения зависят от поперечной силы Qx

А) там, где она достигает максимального значения (здесь: на опорах) наибольшими будут и касательные напряжения.

Б) где Qx = 0 (здесь: в середине балки) → τу =0

3. Касательные напряжения τу изменяются не по линейному закону (как σх), а по закону параболы

(τ зависит не только от Qx, но и от Sx – зависит от положения точки по высоте сечения)

4. График изменения напряжений по высоте сечения называется эпюрой (г — эпюра Q)

5. Для наглядности изменение касательных и нормальных напряжений показано в аксонометрии

Примечания.

1. Нормальные напряжения направлены горизонтально (вдоль оси х) → индекс х

2. Касательные напряжения направлены вертикально (вдоль оси у) → индекс у

3. В обозначениях момента инерции J, момента сопротивления W, статического момента S — нижний индекс (Jх Wх Sх или у) – указывает на ось, относительно которой характеристики вычисляются.

Основные расчётные предпосылки при изгибе

1. Перпендикулярное оси недеформированного бруса плоское сечение остаётся и после изгиба плоским и нормальным к изогнутой оси бруса (гипотеза плоских сечений)

2. Продольные волокна при его деформации не надавливают друг на друга

Расчёт балок на прочность

1. По нормальным напряжениям

σизгmin, min Rизг

Rизг – расчётное сопротивление материала при работе на изгиб (табличная величина)

Т. к.

σизг = МхWx → МхWx Rизг

2. Задачи трёх типов при расчётах на прочность при изгибе (как при растяжении и сжатии)

А) определение несущей способности балки

Б) проверка несущей способности балки

В) подбор сечения балки (встречается чаще)

2. По касательным напряжениям

τmax Rсдв

Rсдв – расчётное сопротивление материала при работе на сдвиг (табличная величина. Для стали вместо Rсдв → Rср)

QxSxJxb Rсдв (срез)

Расчёт балок на жёсткость

(по деформациям)

1. Балки могут быть прочными и устойчивыми, но иметь чрезмерные (больше нормативных) прогибы

fmax fпред

fmax – наибольший расчётный прогиб конструкции

fпред – предельный прогиб по СНиП

2. Для междуэтажного перекрытия fпред = 1200 l, балок чердачного перекрытия fпред = 1150 l

где l – длина пролёта балки

Интеграл Мора и правило Верещагина

1. Интеграл Мора позволяет определять прогибы и углы поворота заданного сечения балки, используя интегральное исчисление.