Сайт студентов физиков для студентов физиков!
Главная Учебные материалы по физике Основы механики методичка — погрешности

Основы механики методичка — погрешности

e = D аcp / acp * 100 % (6)

Пример. Требуется измерить диаметр проволоки d. Пятикратное измерение с помощью микрометра дали результаты, занесенные в таблицу 1. Определим среднее арифметическое dср, найдем абсолютную ошибку. Используя значение абсолютной ошибки, найдем относительную ошибку — проверьте полученные значения (для упрощения расчетов здесь и в последующем рекомендуем пользоваться программой Exel).

Таблица 1

№ измерения

d, мм

|D d|, мм

,%

1

2.32

+0.02

Х

2

2.34

0.00

Х

3

2.36

+0.02

Х

4

2.33

+0.01

Х

5

2.35

+0.01

Х

Среднее значение

2,34

0,012

0,5

2.1.4. Приборная погрешность

На практике иногда приходится ограничиваться только одним измерением. Тогда погрешности оценивают исходя из цены наименьшего деления шкалы. Так как половину деления шкалы обычно нетрудно оценить визуально, то ошибка измерения при помощи данного прибора не превышает половины значения одного деления.

Так, например, при измерении температуры термометром, разделенным на 0.1 оС, ошибку Dt при однократном наблюдении принимают равной ± 0.05 о.

Таким образом, при однократном измерении абсолютная погрешность составляет половину точности прибора.

Пример.: Пусть требуется измерить атмосферное давление Р ртутным барометром, шкала которого разделена на миллиметры. Наблюдая один раз находят, что давление равно 748 мм рт. ст. Принимая во внимание вышесказанное, имеем DР= 0.5 мм рт. ст. Следовательно, можно записать:

Р = 748± 0.5 мм рт. ст.

Относительная ошибка в этом случае будет невелика; действительно,

e= (0,5/ 748) ·100 % = ± 0,67 %.

2.2. Погрешности косвенных измерений

Разберем следующий конкретный пример: дан цилиндр из некоторого материала (алюминий), требуется определить плотность этого материала.

Мы, знаем, что плотность r численно равна отношению массы тела m к объему V:

r = m / V

Для цилиндра, диаметр которого D, а высота h, объем определяется выражением

V = p D2 h/ 4 .

Следовательно,

r = 4m / p D2 h (7)

Так как истинные значения m, D и h неизвестны, то величину rср вычисляют по ф. (7) по средним значениям mср, Dср и hср (рассчитанным по ф. (1)).

Как найти ошибку, допущенную при косвенном определении плотности, если три измеренные непосредственно величины имеют ошибки измерения (см. ф. (3)): масса m измерена с абсолютной ошибкой Dmср, диаметр D с ошибкой D Dср,, а высота h — с ошибкой D hср.

2.2.1. Функция одной переменной

Для решения этого вопроса в общем виде рассмотрим сначала случай функции одной переменной, то есть определяемая косвенно величина Y связана функциональной зависимостью с x, которая доступна прямому измерению. Тогда из теории дифференциального исчисления получаем:

Y = f (x) f¢x= dY/dx dY = f¢x d x (8)

DY = f¢x Dx DYср = (f¢x )ср Dxср (9)

Отсюда следует:

средняя абсолютная ошибка косвенного измерения величины, зависящей от одной непосредственно измеряемой величины (функции одного аргумента) равна производной этой функции (вычисленной по средним значениям аргумента), умноженной на среднюю абсолютную ошибку аргумента.

Относительная ошибка вычисляется как и в случае прямых измерений (см. ф. (6)):

e = DYср/Yср [3]

Пример 2.1. Пусть требуется определить ускорение свободного падения из формулы математического маятника[4]:

!

Пусть при этом длина маятника l измеряется один раз с точностью, значительно превышающей точность измерения периода T, поэтому можно считать, что g является функцией одной переменной Т. Тогда из ф. ф. (8, 9) следует (без учета знака производной):

Dg = f¢T DT =(2*4*p2*l/T)* DT Dgср = (2*4*p2*l/T ср) DTср .

2.2.2. Функция нескольких переменных

Рассмотрим теперь случай, когда искомая величина определяется через непосредственно измеряемые величины x1, x2, …, xn, тогда:

Y = f (x1, x2, …, xn). (10)

Можно показать, что полная ошибка DY равна сумме абсолютных значений частных ошибок, связанных с ошибками в измерениях отдельных величин xi, т. к. (без учета знака частных производных):

dY = | dY1| +| dY2| + … +| dYn|, (11)

где dYi = (f/ xi) dxi =(f¢xi ) dxi (ср. с ф. (8))

или:

средняя абсолютная ошибка косвенного измерения величины, зависящей от нескольких непосредственно измеряемых величин (функции нескольких аргументов) равна полному дифференциалу функции, где приращения d заменены на Dср,, а производные вычисляются по средним значениям аргументов:

DYср = (f¢x1 )ср Dx1ср + (f¢x2 )ср Dx2ср +…+(f¢xn )ср Dxnср (12)

(надо заметить, что ф. (12) совпадает с ф. (9), если принять n=1).

Относительная ошибка вычисляется как и в случае прямых измерений (см. ф. (6)):

e = DYср/Yср [5] (13)Выражения (12, 13) дают возможность вычислить ошибку косвенно-определяемой величины Y через ошибки величин x1, x2, …., xn, с которыми она связана определенным соотношением.

Таким образом, рекомендуется следующий порядок вычисления ошибок среднего результата определяемой величины.

1. По данным опыта вычисляют средние значения каждой непосредственно измеряемой величины (xсрi) и абсолютные ошибки этих величин (Dxcрi).