редукция волновой функции

Таким образом, редукция волновой функции ψ заключается в её превращении в новую волновую функцию :

(12.24)

при абсолютно одинаковых условиях измерения.

В исходном состоянии с волновой функцией (12.21) система не обладает конкретным значением физической величины А. Лишь в результате измерения за счет взаимодействия с макроскопическим прибором исследуемая характеристика системы А приобретает конкретное значение . Иными словами, измерение творит реальность, превращая бесконечный набор потенциальных возможностей системы в единственную реальность, описываемую волновой функцией и её собственным значением . Количественно связь между возможностью и реальностью определяется бесконечной совокупностью вероятностей переходов (12.24)

, n=1,2,3,… , (23.25)

где величины удовлетворяет условию (12.9).

Выше отмечалось, что точное без дисперсии измерение физической величины идеальным прибором возможно только в том случае, если система находится в состоянии, описываемом собственной функцией оператора этой физической величины. Если операторы и двух динамических величин А и В коммутируют, т. е. являются перестановочными для любой волновой функции в том смысле, что справедливо равенство

, (12.26)

то существуют такие состояния системы, которые описываются волновыми функциями , удовлетворяющими следующим уравнениям:

. (12.27)

Здесь волновая функция одновременно является собственной функцией сразу двух операторов и .

В состоянии, описываемой волновой функцией , величины А и В имеют точно определенные значения и соответственно, которые могут быть одновременно измерены идеальными приборами без погрешностей. Примерами коммутирующих операторов могут служить следующие пары операторов:.

Если операторы и не коммутируют и равенство (12.26) не выполняется, то величины А и В не могут быть одновременно точно измеренными, поскольку не существует функций, которые являлись бы собственными функциями сразу двух операторов и . При одновременном измерении величин А и В идеальными макроскопическими приборами среднеквадратичные отклонения и связаны между собой соотношением неопределенностей Гейзенберга (В. Гейзенберг,
1927 г.)

. (12.28)

Примерами некоммутирующих операторов являются следующие пары операторов: , и .

Введение коммутирующих и некоммутирующих операторов производится на основе опыта и ведет к глубоким физическим следствиям. В частности, из-за некоммутативности операторов координат и операторов соответствующих проекций импульса на координатные оси нельзя пользоваться понятием траектории частицы. Мы не знаем, как движущаяся частица перемещается из одной точки пространства в другую. Вследствие некоммутативности операторов кинетической энергии и потенциальной энергии можно говорить только о полной энергии частицы.

Особое место занимает соотношение неопределенностей для энергии и времени, поскольку для времени в квантовой механике нет оператора и время является точно измеряемой по идеальным часам величиной. Это соотношение неопределенностей имеет вид

. (12.29)

Если система находится в стационарном состоянии, то согласно соотношению неопределенностей (12.29) энергию этой системы за время измерения можно определить лишь с точностью, не превышающей

. (12.30)

Данная неопределенность энергии системы обусловлена взаимодействием этой системы с измерительным прибором и показывает, что для точного измерения энергии стационарного состояния требуется бесконечное время.

Соотношение (12.29) справедливо также для нестационарного состояния, если под понимать неопределенность энергии нестационарного состояния, а под — характерное время, в течение которого существенно меняется среднее значение физических характеристик этой системы.

Динамические величины удовлетворяющие соотношению неопределенностей, называются дополнительными. Дополнительные понятия, описывающие состояние объекта наблюдения с разных точек зрения, вместе дают единую картину движения данного объекта. В этом заключается смысл принципа дополнительности Бора, сформулированного им в 1927 г., который устраняет (снимает) противоречие между представлениями дискретности и непрерывности в квантовой механике. Согласно принципу дополнительности для полного описания квантовых явлений необходимо применять два взаимоисключающих (дополнительных) набора классических понятий, совокупность которых дает исчерпывающую информацию об этих явлениях. Классические понятия необходимы в квантовой физике для описания макроскопических условий опытов, создаваемых исследователем с помощью измерительного прибора. Но применение этих классических понятий связано с их «расщеплением» на взаимно исключающие категории. Примерами такого подхода являются корпускулярная и волновая картины, причинно-следственное и пространственно-временное описания, характеристика движения частиц с помощью координат и импульса и т. д.