Сайт студентов физиков для студентов физиков!
Главная Учебные материалы по физике Тензор деформации грина

Тензор деформации грина

Совокупное расположение материальных частиц друг относительно друга называется конфигурацией. Конфигурацию в начальный момент назовем начальной или отсчетной, а конфигурацию в текущий момент времени будем называть текущей или актуальной.

В процессе движения СС изменяет свою конфигурацию (конфигурация не менялась бы, если бы тело двигалось как абсолютно твердое). Изменение конфигурации связано деформацией в физическом смысле. Для того чтобы выразить деформацию математически, необходимо ввести какую-либо меру деформации. Для этого рассмотрим две конфигурации СС, и оценим изменение расстояния между двумя произвольными бесконечно близкими точками. Пусть в отсчетной конфигурации эти точки суть и см. рис. 2. Все материальные точки, которые располагались на бесконечно малом отрезке в отсчетной конфигурации, будут находиться на бесконечно малой дуге (по следствию из гипотезы непрерывности). Длина этой дуги с точность до величин более высокого порядка малости, равна длине бесконечно малого отрезка . Для оценки изменения расстояний между точками до деформации и после, рассмотрим разность квадратов расстояний между этими точками. Векторы и называются векторами перемещений точек и соответственно. Будем считать, что поле векторов перемещений всех точек является функцией лагранжевых координат. Тогда

,

где введен тензор

, (2.1)

называемый тензором деформации Грина.

С другой стороны, мы могли считать поле векторов перемещений функцией эйлеровых координат. Тогда проделывая аналогичные действия, можно получить

,

где введен тензор

, (2.2)

называемый тензором деформации Альманси.

2.2 ГЕОМЕТРИЧЕСКИ ЛИНЕЙНАЯ МЕХАНИКА

Достаточно широкий класс задач описывается соотношениями геометрически линейной механики, основанной на предположении о малости перемещений по сравнению с линейными размерами деформируемого тела и поворотов по сравнению с единицей (ограничения не распространяются на смещения как абсолютно твердого тела). Пусть — характерный линейный размер тела, тогда указанные предположения записываются в виде

1. ;

2. .

Т. к. и , а , то

и ,

но тогда

.

Таким образом, в геометрически линейной механике пренебрегают различием между пространственными и материальными координатами. Кроме того,

Второе условие позволяет оценить , после чего тензор Грина можно представить в виде

.

Совершенно аналогично преобразуется и тензор деформации Альманси

.

В этом случае тензор Грина и тензор Альманси совпадают, его обозначают

(2.3)

и называют тензором деформации Коши.

2.3 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ КОМПОНЕНТ ДЕФОРМАЦИИ

Наглядная геометрическая интерпретация нелинейных компонент тензоров деформации Грина и Альманси невозможна. Однако можно установить связь с измеряемыми относительными деформациями. Предположим, что рассматривается тензор деформации Грина. Пусть задан малый недеформированный элемент , который в процессе деформации переходит в элемент как показано на рис.

Относительная деформация определяется как относительное изменение длины

,

откуда длина элемента в текущей конфигурации

.

Но согласно лагранжевому описанию, относительная деформация определяется по отношению к первоначальной длине, следовательно

.

Из двух последних равенств получаем

,

из которого очевидно, что относительные удлинения бесконечно малого элемента, совпадающего по направлению в отсчетной конфигурации с направлением первой координатной оси, связаны с первым компонентом тензора деформации Грина. Аналогичные правила имеют место и для других направлений.

Пусть теперь рассматриваются два недеформированных ортогональных линейных элемента в отсчетной конфигурации и , которые переходят соответственно в элементы и .Скалярное произведение линейных элементов после деформации дает

.