Сайт студентов физиков для студентов физиков!
Главная Учебные материалы по физике Теорема гаусса для вектора электрической индукции

Теорема гаусса для вектора электрической индукции

теорема Гаусса для вектора напряженности при наличии диэлектрика. qсвоб = q, q¢связ — отрицательный связанный заряд, охватываемый гауссовой поверхностью.

Найти связанный заряд q¢связ можно только в самых простых случаях. Но можно записать теорему Гаусса для вектора электрической индукции D.

Подставив эти формулы в (©), получим выражение для теоремы Гаусса в виде:

Теорема Гаусса для вектора электрической индукции: «Поток вектора электрической индукции через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме свободных зарядов, охватываемых этой поверхностью».

Для определения напряженности поля при наличии диэлектрика следует использовать теорему Гаусса для электрической индукции D, а затем найти напряженность по формуле D=eeoE, тем самым мы избавляемся от необходимости нахождения связанных зарядов.

Пример. Металлическая сфера, имеющая заряд q, помещена в жидкий диэлектрик (диэлектрическая проницаемость e). Найти напряженность поля в диэлектрике в зависимости от радиальной координаты r. Воспользуемся теоремой Гаусса.

При наличии диэлектрика с диэлектрической

проницаемостью e во всех формулах надо заменить [16]

e0 ® ee0

Электрическая энергия.

Заряженные тела обладают запасом энергии. Это проявляется, например, при отталкивании одноименно заряженных тел, когда они приобретают кинетическую энергию. При сближении разноименно заряженных тел между ними проскакивает искра, и мы наблюдаем переход запасенной электрической энергии в другие виды энергии: световую, звуковую, тепловую. Найдем выражения для энергии заряженных тел.

1)Два неподвижных точечных заряда.

Пусть два точечных заряда q1 и q2 находятся на расстоянии r друг от друга. Найдем работу по переносу в бесконечность сначала одного заряда, затем другого

§

работа в 1-м и 2-м случаях;j2 — потенциал поля заряда q1 в точке, где находится q2; ;j1 потенциал поля заряда q2 в точке, где находится q1; т. к. А1 = А2, работу можно записать в виде (§). Из механики: А=DW, W¥ = 0, следовательно, получим:

электрическая энергия системы из 2-х точечных зарядов.

2) Система n точечных дискретных зарядов.

Рассуждая аналогично случаю 2-х точечных зарядов, можно получить [17]:

энергия системы n точечных зарядов (i = 1, 2,…, n)

jI – потенциал, создаваемый всеми зарядами, кроме

iго в точке, где находится i –ый заряд,

3) Заряженный проводник.

Если заряды распределены в теле непрерывно, то суммирование заменяем на интегрирование. Если учесть, что для проводника j = const и использовать выражение для емкости проводника С=q/j, можно получить различные выражения для энергии проводника.

Энергия заряженного проводника

4) Заряженный конденсатор.

Рассмотрим две параллельные одинаковые незаряженные пластины, Мысленно перенесем с одной пластины на другую бесконечно малый заряд +dq. Для этого не требуется никакой работы, т. к. пластина пока не заряжена. После этого пластины окажутся разноименно заряженными, и между ними появится разность потенциалов Dj. Для переноса следующей «порции» заряда уже требуется работа dА = dq×Dj = dq×(q/C), где С – емкость конденсатора. Каждая новая «порция» заряда будет повышать заряд q на пластине, и все труднее будет переносить новые порции. Поэтому для вычисления полной работы следует проинтегрировать.

работа, которую надо затратить, чтобы зарядить конденсатор зарядом q. А=DW

энергия заряженного конденсатора

Энергия электростатического поля.

В предыдущих формулах электрическая энергия выражалась через характеристики, связанные с проводником: емкость, заряд, разность потенциалов.

Получим формулы для энергии, выразив ее через характеристики электрического поля, существующего вокруг заряженных тел: напряженность Е и электрическую индукцию D. Рассмотрим плоский конденсатор, считая поле между обкладками однородным.

§§

энергия заряженного конденсатора

Dj — разность потенциалов между обкладками,

С — емкость плоского конденсатора,

V – объем пространства между обкладками;

подставим формулы в (§§), получим:

электрическая энергия, сосредоточенная в пространстве между обкладками плоского конденсатора.

Обобщим полученные результаты на случай неоднородного поля. Введем понятие объемная плотность энергии.

(Дж/м3)

объемная плотность энергии — по смыслу – это энергия, приходящаяся на единицу объема пространства.

запас энергии в элементарном объеме dV, т. е. в таком малом объеме, в пределах которого Е=const

запас энергии электростатического поля

в объеме V