Сайт студентов физиков для студентов физиков!
Главная Учебные материалы по физике Тонкостенный длинный цилиндр

Тонкостенный длинный цилиндр

по теореме Гаусса; охватываемый заряд – это отрезок нити длиной l. Приравнивая и сокращая, получим E(r).

 

3) Тонкостенный длинный цилиндр, заряженный:

1)  с линейной плотностью заряда t или

2)  с поверхностной плотностью заряда s.

Этот пример аналогичен предыдущему. Выбираем гауссову поверхность в виде соосного цилиндра, разбиваем поверхность на боковую и две торциальные. В первом случае при заданной линейной плотности t получим такую же формулу, как идля длинной нити. Во втором случае охватываемый заряд равен (s×2p×R×l) и формула для E несколько иная, хотя зависимость от r – та же.

4) Плоскость, бесконечно протяженная, заряженная с поверхностной плотностью заряда s.

Выберем гауссову поверхность S в виде цилиндра, перпендикулярного заряженной плоскости. Высота цилиндра (2×х/2). [9] Разобьем поверхность на боковую и две торцевых.

поток через Sбок = 0, т. к.× E^n,

a = 90о и

cosa = 0

 

Sзаштрих – площадка с зарядом, охватываемым цилиндром

S заштрих = S торц, т. к. образующие цилиндра перпендикулярны заряженной плоскости. Поле протяженной плоскости – однородное и не зависит от расстояния

 

 

5) Две плоскости, параллельные, разноименно заряженные (плоский конденсатор). В этом случае напряженность поля можно найти по принципу суперпозиции, зная напряженность поля одной плоскости:

A)  ЕА = Е2 Е1 = 0

B)  ЕВ = Е2 + Е1 =s /eо

C)  ЕС = Е1 Е2 =0

Поле плоского конденсатора можно считать однородным с достаточной степенью точности, если расстояние между пластинами значительно больше размеров пластин.

Потенциалы полей различных заряженных тел.

Будем рассматривать только случаи, когда напряженность и потенциал зависят только от одной координаты х или радиальной координаты r для сферически или цилиндрически симметричных тел. Разность потенциалов связана с напряженностью в этом случае как (см. формулу (···)):

 (ª)

Связь разности потенциалов с напряженностью для случая одной переменной х или r (математически это уравнение однотипно с (···) при замене х® r)

Из уравнений (ª) или (···) можно найти разность потенциалов, если известна функция Е(r) или Е(r). Чтобы получить формулу для потенциала, следует выбрать уровень нулевого потенциала (так же, как в случае потенциальной энергии – см. механику). Обычно принимают j = 0 на бесконечности, но для поля нити это невозможно (см. ниже).

1) Точечный заряд.

Подставим в формулу (ª) выражение для напряженности поля точечного заряда. 1 и 2 – любые две точки на радиальной оси координат r. Примем j 1 = 0 при

r1 ®¥, заменим j 2 ® j , r2 ®r получим j (r).

(при j¥ = 0)

2).Сфера радиуса R, заряженная с поверхностной плотностью заряда s (Кл/м2).

Полный заряд на сфере q = s×4p×R2 . Будем рассматривать две области:1) — выбираем две любые точки 1 и 2 в этой области и 2) также выбираем две любые точки уже в этой области. Потенциал должен быть непрерывной функцией, в отличие от напряженности он не может иметь разрывов в данной точке, т. к. по смыслу j — потенциальная энергия единичного положительного заряда, а двух энергий у одного заряда в одной точке данного поля не может быть.

Подставим в (ª) Е поля сферы. Для получается та же формула, что и для поля точечного заряда.

(при j¥ = 0)

3)Бесконечно длинная нить, заряженная с линейной плотностью заряда t.

Выберем на оси радиальных координат r две любые точки с координатами r1 и r2.

(см. рис.). Подставим в (ª) напряженность поля длинной нити и проинтегрируем.