Сайт студентов физиков для студентов физиков!
Главная Решение задач по физике Двумерная плоская задача ту

Двумерная плоская задача ту

12.) Двумерная плоская задача ТУ.

А.)Плоская деформация.

Деформация называется плоской, если перемещения всех точек тела могут происходить только в двух направлениях в одной плоскости и не зависят от координаты, перпендикулярной к этой оси.

Примером плоской деформации может служить напряженно – деформированное состояние, возникающее в длинной прямой плотине или длинном своде подземного тоннеля.

Напряжение:

)

Дифференциальные уравнения равновесия Навье:

Условия на поверхности:

l, m – направляющие косинусы внешней нормали к поверхности контура – компоненты объемных сил и интенсивности внешних поверхностных нагрузок на оси x и y

Уравнения Коши:

Уравнения неразрывности деформация Сен–Венана:

Формулы закона Гука:

Упругие постоянные для закона Гука:

Б.)Обобщенное плоское напряженное состояние.

Плоское напряженное состояние возникает в том случае, когда длина тела мала, по сравнению с двумя другими размерами. В этом случае она называется толщиной. Напряжения в теле действуют только в двух направлениях в координатоной плоскости xOy и не зависят от координаты z. Примером такого тела пожжет служить тонкая пластина толщиной h, нагруженная по боковой поверхности силами, параллельными плоскости пластины и равномерно распределенными по ее толщине.

Напряженное состояние в пластине:

Основания пластины будут искривляться, так как появляются перемещения по оси z:


Основные уравнения плоской деформации: дифференциальные уравнения равновесия, условия на поверхности, уравнения Коши и уравнения неразрывности деформаций сохраняют такой же вид.

Формулы закона Гука примут следующий вид:

Изменятся только значения постоянных.

В плоской задаче теории упругости восемь неизвестных:

–две компоненты вектора перемещений и u

–три компоненты тензора напряжений , ,

–три компоненты тензора деформаций ,,

Для решения задачи используют восемь уравнений:

–три уравнения Коши

–три формулы закона Гука

–два дифференциальных уравнения равновесия.

Кроме того, полученные деформации должны подчиняться уравнению неразрывности деформаций, а на поверхности тела должны выполняться условия равновесия.

В.)Решение плоской задачи ТУ в перемещениях.( http://www. strmech. susu. ac. ru/sopromat-file/BookIkr/BookIkr. pdf стр.323)

С помощью равенства исключим деформации из уравнений .

Полученные уравнения подставим в

Полученные уравнения являются условиями равновесия, записанными в перемещениях.

Определив перемещения из полученных уравнений, напряжения и деформации можно найти из уравнений, полученных ранее, дифференцируя соответствующим образом функции u и v.

Г.) Решение плоской задачи ТУ в напряжениях. Уравнение Леви.

Решение плоской задачи в напряжениях сводиться к отысканию трех неизвестных функций:

Подставляем в уравнение выражения деформаций из закона Гука

С помощью уравнения равновесия исключим из полученного уравнения касательное напряжение .Для этого дифференцируем первое из уравнений по x, а второе по y, затем их складываем и получаем:

Подставляя выражение для смешанной производной от касательного напряжения в полученное уравнение, получаем условие неразрывности деформаций, записанное через нормальные напряжения:

Это уравнение, полученное для плоского напряженного состояния, носит название уравнения Мориса Леви. Уравнения равновесия вместе с граничными условиями и уравнением неразрывности дают систему уравнений, которых достаточно для полного определения напряжений.