Сайт студентов физиков для студентов физиков!
Главная Решение задач по физике Решение волнового уравнения

Решение волнового уравнения

Контрольная работа

Задача 1. Решить первую смешанную задачу для волнового уравнения на отрезке.

Решение:

Запишем решение для волнового уравнения на отрезке длины для условий:

. Где ,

.

Для условий задачи после подстановки a и l будет следующее выражение:

, все равны нулю, т. к. .

.

= ===

=.

= = .

Ответ: .

Задача 2. Решить первую смешанную задачу для волнового уравнения в прямоугольнике.

.

Решение:

Запишем решение для волнового уравнения на прямоугольнике для условий:

;

=;

=;

=.

После подстановки условий задачи получится следующее выражение:

, так как ;

=;

==

==;

=

=.

Ответ: , где =.

Задача 3. Решить первую смешанную задачу для волнового уравнения в круге.

Решение:

Запишем решение для волнового уравнения в круге радиуса для условий :

;

=;

=;

Где =, — функция Бесселя первого рода, — корень с номером уравнения =(это уравнение имеет бесконечное число корней).

Так как .

Подставляем значения из условия задачи в выражения для , ,:

=

=;

=.

Ответ: =, где =,

=, — функция Бесселя первого рода, — корень с номером уравнения =

=.

Задача 4. Найти решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности на отрезке.

; =; .

Решение:

Решим задачу для условий записанных ниже:

; ; .

Применим метод разделения переменных Фурье. Будем искать частное решение уравнения в виде

=. После преобразования, получим два дифференциальных уравнения:

1);

2).

Отыскание для второго уравнения представляет собой задачу Штурма – Луивилля, собственные значения которой , а собственные функции , где целое и .

Решение первого уравнения следующее (используется индекс k, так как каждому соответствует свой , и получается бесконечное счетное множество решений).

=, где частные решения уравнения . Из граничных условий следует, что и , обозначим =, и получим

=. Запишем общее решение как сумму частных =

==. определим из начальных условий :

= =. Отсюда видно, что являются коэффициентами разложения в ряд Фурье по синусам = .

Найдем для условий нашей задачи:

= +=

==

=.

Ответ: .

Задача 5. Найти решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности в круге.

Решение:

Запишем решение для волнового уравнения в круге радиуса для условий в полярных координатах:

.

Будем искать частное решение в виде . Тогда ,

.Отсюда получаем два уравнения:

1)

2).

Решением задачи Штурма-Лиувилля для R будут собственные значения и собственные функции , где — функция Бесселя первого рода нулевого порядка,— корни уравнения , n – целое число n > 0.

Соответствующие решения уравнения будут такими: .

Тогда ==.

Общее решение будем искать в виде . Воспользуемся начальными условиями , подставив значение и получим:

— это коэффициенты Эйлера-Фурье разложения функции в ряд по

= , где — функция Бесселя первого рода первого порядка.

В результате мы имеем:

, = .

Подставим значения из условия задачи :

, =.

Ответ: , =.

Задача 6. Используя формулу Пуассона, найти решения задачи Коши для уравнения теплопроводности.

.

Решение:

Для условий формула Пуассона записывается в виде:

. У нас . После подстановки значений в интеграл, получим:

==.

Результатом вычисления интеграла , где — константы, является выражение:

= Для интеграла нашей задачи ; ; .

Тогда после преобразований =. Таким образом

==.

Ответ: =.

Задача 7. Найти общее решение уравнения.

.

Решение:

Приведем уравнение, данное в условиях, к каноническому виду. Для этого составим характеристическое уравнение . Разрешим его относительно dy. Получим два уравнения и . После интегрирования уравнения перейдут в

1)

2) .

Осуществим замену переменных .

Вычислим частные производные новых переменных по старым переменным: .

Так как выражаются линейно через , то получим:

;

;

;

Подставим значения производных:

= ;

=;

= .

Из условия задачи получаем 0==+=.

Общим решением полученного уравнения =0 (предполагается, что все вторые частные производные непрерывны) является функция линейная относительно переменных:

, где — произвольные константы. При возврате к независимым переменным x, y получится функция , где — произвольные константы.

Ответ: , где — произвольные константы.

Задача 8. Решить смешанную задачу.

Решение:

Запишем решение для волнового уравнения на отрезке длины в общем виде:

.

. Где ,

.

Для условий задачи после подстановки a и l будет следующее выражение:

.

Так как при =

=3. При .

Аналогично, для , получим ==1. При .

=

= =.

Ответ: .