Сайт студентов физиков для студентов физиков!

Законы динамики

Законы динамики. (Законы Ньютона)

1. Каждое тело пребывает в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока действующие на тело силы не заставят его изменить движение (причиной изменения дви­жения является сила).

2. Ускорение пропорционально приложенной силе и направлено вдоль линии действия силы: (количественная мера действия силы).

3. Силы взаимодействия двух материальных точек равны по ве­личине и противоположны по направлению (сила всегда имеет материальный источник, который испытывает обратное дейст­вие объекта, к которому приложена сила).

Аксиома о суперпозиции сил

При одновременном действии на материальную точку нескольких сил ускорение точки относительно ИСО от действия каждой отдель­ной силы не зависит от наличия других приложенных к точке сил и полное ускорение равно векторной сумме ускорений от действия от­дельных сил.

Между силами нет взаимного влияния друг на друга в создании ускорения точки:

Все это справедливо для небольших скоростей.

Размерностью силы в системе СИ является ньютон ([F]=н). Сила в 1н равна силе, сообщающей телу массой 1 кг ускорение, равное 1 м/с2.

3.3. Дифференциальные уравнения движения материальной точки. Две основные задачи динамики точки

− равнодействующая,

Декартова система координат:

Естественная система координат:

Второе уравнение можно преобразовать:

Получаем для естественной системы координат:

Первая (прямая) задача динамики точки: зная массу точки и ее закон движения, можно найти действующую на точку силу.

Зная проекции силы на координатные оси, легко определить мо­дуль силы и косинусы углов силы с осями координат.

Пример. Закон движения точки x = aCoskt; y = bSinkt, массы точки m. Определить траекторию и силу, под действием которой происхо­дит движение.

Уравнение траектории:

− эллипс с полуосями a, b

Fx= − mk2aCoskt; Fy= − mk2bSinkt или Fx= − mk2x; Fy= − mk2y;

(r − радиус−вектор точки).

Косинусы углов силы F с осями координат:

Отсюда можно заключить, что сила F имеет направление, проти­воположное вектору r.

Окончательно .

3.4 Основные виды прямолинейного движения точки.

Криволинейное движение

Дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки вдоль оси Ох имеет вид:

если рассматривается случай зависимости силы только от времени, координаты и скорости. Начальные условия задаются в форме:

t=0; x=x0, vx=v0.

Наиболее важные случаи прямолинейного движения точки полу­чаются тогда, когда сила постоянна или она зависит только от вре­мени, координаты х, или от скорости v. Если сила постоянна, то имеем случай равнопеременного движения, то есть движения с посто­янным ускорением. Сила зависит от времени обычно, когда ее изме­няют путем прямого регулирования. Силу, зависящую от координаты, создает сжатая пружина или центр тяготения. Силы, зависящие от скорости, чаще всего являются силами сопротивления.

Пример 1. Точка массы m движется под действием постоянной силы F с начальной скоростью v0. (t=0, x=0, vx=v0):

используя начальные условия получаем С1=v0

из начальных условий определяем С2=0 и в результате закон движе­ния точки имеет вид:

Пример 2. Точка массы m движется из начального положения по­коя под действием переменной силы F = kSinωt. Начальные условия t=0, x=0, vx=0. (рис. 37)

Рис. 37

Из начальных условий определим

(t=0 C2=0)

Получаем, что тело двигается равномерно с постоянной скоро­стью вправо и на это движение будет накладываться периодическое "модулирующее" движение. Заметим, что составляющей "дрейфа" не было бы, если бы начальные условия имели вид:

Пример 3. Точка массы m брошена вертикально вверх с поверхности земли с начальной скоростью v0 и движется под действием силы тяго­тения (Рис. 38). Начальные условия: t=0, x=R3, v=v0;

Имеем дифференциальное уравнение:

Рис. 38

Используя подстановку получаем уравнение

Разделяем переменные и берем интегралы:

или откуда

(*)

Для определения xmax (максимальная высота подъема), положим v=0, тогда

и при,

это выполняется для v0=11.2 км/с (вторая космическая скорость).

Полученную зависимость (*) скорости точки от высоты подъема можно использовать для определения закона движения (x=f(t)), разде­лив еще раз переменные и проведя интегрирование.

3.5. Простейшие свойства внутренних сил системы

Механической системой называется любая совокупность мате­риальных точек.

Внешними силами материальной системы называются силы, с которыми действуют на точки системы тела и точки, не вхо­дящие в рассматриваемую систему, будем их обозначать .

Внутренними силами материальной системы называют силы взаимодействия между точками рассматриваемой сис­темы(Рис.39), мы их будем обозначать .

Внутренние и внешние силы могут включать в себя как активные силы, так и реакции связей

Пусть система состоит из n точек. Тогда по третьему закону Ньютона, например, для точек 1 и 2,(рис.39) внутренние силы взаимодействия этих точек равны по величине и противоположны по направлению:

Равнодействующая внутренних сил состоит из векторной суммы сил действия и противодействия, которая

Рис.39 равна нулю:

Если рассмотреть сумму моментов сил и относительно некоторой произвольной точки О, то легко видеть, что

т. к. обе силы имеют одинаковые плечи h и противоположные направления векторных моментов. Главный момент внутренних сил относительно точки О состоит из векторной суммы этих моментов внутренних сил:

3.6. Дифференциальные уравнения движения системы

Если к каждой точке системы приложить равнодействующую силу внешних сил и равнодействующую силу всех внутренних сил, то для любой к-ой точки системы можно составить дифференциальное уравнение движения в виде второго закона Ньютона: