ВУЗы по физике Готовые работы по физике Как писать работы по физике Примеры решения задач по физике Решить задачу по физике онлайн

Тензор деформации грина


Совокупное расположение материальных частиц друг относительно друга называется конфигурацией. Конфигурацию в начальный момент назовем начальной или отсчетной, а конфигурацию в текущий момент времени будем называть текущей или актуальной.

В процессе движения СС изменяет свою конфигурацию (конфигурация не менялась бы, если бы тело двигалось как абсолютно твердое). Изменение конфигурации связано деформацией в физическом смысле. Для того чтобы выразить деформацию математически, необходимо ввести какую-либо меру деформации. Для этого рассмотрим две конфигурации СС, и оценим изменение расстояния между двумя произвольными бесконечно близкими точками. Пусть в отсчетной конфигурации эти точки суть и см. рис. 2. Все материальные точки, которые располагались на бесконечно малом отрезке в отсчетной конфигурации, будут находиться на бесконечно малой дуге (по следствию из гипотезы непрерывности). Длина этой дуги с точность до величин более высокого порядка малости, равна длине бесконечно малого отрезка . Для оценки изменения расстояний между точками до деформации и после, рассмотрим разность квадратов расстояний между этими точками. Векторы и называются векторами перемещений точек и соответственно. Будем считать, что поле векторов перемещений всех точек является функцией лагранжевых координат. Тогда

,

где введен тензор

, (2.1)

называемый тензором деформации Грина.

С другой стороны, мы могли считать поле векторов перемещений функцией эйлеровых координат. Тогда проделывая аналогичные действия, можно получить

,

где введен тензор

, (2.2)

называемый тензором деформации Альманси.

2.2 ГЕОМЕТРИЧЕСКИ ЛИНЕЙНАЯ МЕХАНИКА

Достаточно широкий класс задач описывается соотношениями геометрически линейной механики, основанной на предположении о малости перемещений по сравнению с линейными размерами деформируемого тела и поворотов по сравнению с единицей (ограничения не распространяются на смещения как абсолютно твердого тела). Пусть — характерный линейный размер тела, тогда указанные предположения записываются в виде

1. ;

2. .

Т. к. и , а , то

и ,

но тогда

.

Таким образом, в геометрически линейной механике пренебрегают различием между пространственными и материальными координатами. Кроме того,

Второе условие позволяет оценить , после чего тензор Грина можно представить в виде

.

Совершенно аналогично преобразуется и тензор деформации Альманси

.

В этом случае тензор Грина и тензор Альманси совпадают, его обозначают

(2.3)

и называют тензором деформации Коши.

2.3 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ КОМПОНЕНТ ДЕФОРМАЦИИ

Наглядная геометрическая интерпретация нелинейных компонент тензоров деформации Грина и Альманси невозможна. Однако можно установить связь с измеряемыми относительными деформациями. Предположим, что рассматривается тензор деформации Грина. Пусть задан малый недеформированный элемент , который в процессе деформации переходит в элемент как показано на рис.

Относительная деформация определяется как относительное изменение длины

,

откуда длина элемента в текущей конфигурации

.

Но согласно лагранжевому описанию, относительная деформация определяется по отношению к первоначальной длине, следовательно

.

Из двух последних равенств получаем

,

из которого очевидно, что относительные удлинения бесконечно малого элемента, совпадающего по направлению в отсчетной конфигурации с направлением первой координатной оси, связаны с первым компонентом тензора деформации Грина. Аналогичные правила имеют место и для других направлений.

Пусть теперь рассматриваются два недеформированных ортогональных линейных элемента в отсчетной конфигурации и , которые переходят соответственно в элементы и .Скалярное произведение линейных элементов после деформации дает

.

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Другие статьи


Похожая информация


Распродажа дипломных

Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

Пройди опрос и получи промокод