Операторы импульса частицы

2. Операторы импульса частицы , и выполняют операцию дифференцирования по соответствующей координате:

, , . (12.11)

3. Операторы момента импульса частицы выполняют одновременно операции умножения на координаты и дифференцирование по координатам:

. (12.12)

4. Оператор потенциальной энергии выполняет операцию умножения на классическую потенциальную энергию U(x,y,z) частицы

. (12.13)

5. Оператор кинетической энергии выполняет операцию дифференцирования по всем координатам

. (12.14)

Здесь m – масса частицы и

-последовательное двукратное применение оператора импульса .

6. Оператор полной энергии частицы (оператор Гамильтона) есть сумма операторов кинетической и потенциальной энергий частицы

, (12.15)

где

— оператор Лапласа.

Согласно формализму квантовой механики среднее значение измеряемой величины А, которой поставлен в соответствие оператор , находится с помощью выражения

, (12.16)

где — волновая функция того состояния частицы, для которого проводится измерение, оператор действует только на волновую функцию ψ, стоящую справа от него. Среднее значение квадрата измеряемой величины равно

. (12.17)

Среднеквадратичное отклонение измеряемой величины описывается известной формулой

. (12.18)

Даже в том случае, когда измерения динамической характеристики частицы в точно заданном состоянии осуществляются идеальным прибором без приборной погрешности, среднеквадратичное отклонение может быть отлично от нуля, что связано с квантовым (волновым) движением частицы. Таким образом, законы квантовой механики накладывают фундаментальные ограничения на точность измерения динамических величин, характеризующих движение частиц.

Только в том случае, когда частица находится в состоянии, описываемом собственной функцией оператора , и выполняется соотношение

, (12.19)

где — вещественное число, называемое собственным значением оператора , измеренная величина А имеет нулевую дисперсию:

,