Четырехмерный вектор плотности силы

Здесь

— скорость заряда в данной точке пространства, т. е. скорость данного точечного заряда с радиус-вектором ; — плотность заряда, которая зависит от произвольной точки.

Мы вводим понятие плотности тока в теории поля, чтобы исключить из рассмотрения точечные заряды (т. к. в теории поля заряд непрерывный, “размазанный”). Плотность точечного заряда в теории поля равна

где

Мы знаем, что δ-функция нормирована на единицу:

Следовательно, плотность заряда, проинтегрированная по всему пространству, даст нам сам заряд.

Трехмерный вектор плотности тока записывается следующим образом:

Скорость заряда – не зависит от координат, следовательно, ее можно вынести за знак интеграла. Объединяя полученные формулы, получим:

Здесь – не четырехмерный вектор скорости, но нековариантность компенсируется нековариантностью плотности заряда, так что в целом — это четырехмерный вектор, поэтому также является четырехмерным вектором.

Проверим размерность:

Можно ввести четырехмерный вектор плотности тока в явно ковариантной форме.

где — четырехмерный вектор скорости точечного заряда в точке с четырехмерным радиус-вектором ; — инвариантный параметр, имеет размерность времени, после интегрирования перейдет в собственное время.

По свойству δ-функции имеем:

Надо проверить, что плотность тока в явной ковариантной форме дает те же компоненты, что были записаны ранее.

Используя формулу

снимем интегрирование по . Здесь – корень уравнения ; – время наблюдателя, но при оно совпадает с собственным временем точечной частицы.

Введем гамма-фактор

При подстановке в (3.7.13) получим

Четырехмерный вектор плотности тока должен удовлетворять уравнению непрерывности плотности тока:

Убедимся в его выполнении для данного вектора плотности тока :

Внесем производную под интеграл, тогда она будет действовать на δ-функцию.

Воспользуемся правилом переброса производной от δ-функции. Перебросим производную от к , тогда получим

так как δ-функция на бесконечности равна нулю, следовательно, уравнение непрерывности выполняется.

§ 3.8. Четырехмерный вектор плотности силы

В теории поля вместо четырехмерного вектора силы вводится четырехмерный вектор плотности силы .

Рассмотрим, как вводится этот вектор на примере силы Лоренца, действующей на заряд во внешнем поле:

Если теперь поделить обе части на гамма-фактор, то будем иметь

где согласно (3.7.6) и (3.7.7) , а значит