напряженность поля равномерно заряженной бесконечной плоскости

Теперь рассмотрим сферическую поверхность S, концентрическую сфере заряда, радиус которой .

Рис.13.11

Очевидно, что система (заряд и его поле) обладает сферической симметрией относительно точки О . Отсюда можно сделать два вывода: во-первых, любой физический вектор, характеризующий данную систему, должен быть направлен по радиальной относительно точки О линии; во-вторых, все точки любой сферы, концентрической сфере заряда должны быть физически эквивалентны друг другу. Следовательно, векторы на поверхности S будут направлены радиально, то есть перпендикулярно поверхности, а модули их будут одинаковы.

Поток напряжённости через S по определению:

,

Последнее равенство выполняется, так как векторы оба направлены радиально от центра, то есть параллельны друг другу. Поскольку модуль Е одинаков на сфере S, его можно вынести за знак интеграла:

.

Поверхность, поток вектора поля через которую равен произведению постоянного модуля на площадь поверхности, называется гауссовой по отношению к данному векторному полю. Как видно, в рассматриваемом случае все сферы, концентрические сфере заряда, являются гауссовыми. Возможность найти гауссову поверхность объединяет все системы, которые будут рассматриваться в этом параграфе.

По теореме ОГ

.

Тогда мы имеем равенство:

,

следовательно,

.

Теперь сформулируем вывод:

на поверхности и за пределами равномерно заряженной сферы электростатическое поле ничем не отличается от поля точечного заряда, помещённого в центр сферы и равного заряду сферы; внутри сферы напряжённость равна 0.

13.5.2. Напряжённость поля равномерно заряженной бесконечной плоскости

Очевидно, что система обладает плоской зеркальной симметрией относительно плоскости заряда. Полупространства слева и справа от этой плоскости являются зеркальным отражением друг друга в ней (поверхность на рис.13.12 изображена «в ребро»).

Рис.13.12

А любые полупространства «верх-низ» физически эквивалентны друг другу. Значит, не существует ни одного вектора, характеризующего систему, который мог быть направлен снизу вверх или сверху вниз. Это же относится к направлениям «на нас − от нас». Следовательно, напряжённость поля плоскости должна быть направлена перпендикулярно плоскости, кроме этого, она не должна изменяться в направлениях вдоль плоскости. Она также не имеет права изменяться в направлении перпендикулярно плоскости в пределах одного (левого или правого полупространства). Это следует из бесконечности плоскости заряда, поскольку как бы далеко мы от неё не отошли, мы по-прежнему находимся рядом с ней.

Гауссовой поверхностью S для этой системы является «консервная баночка», боковая поверхность которой перпендикулярна плоскости заряда, а основания ей параллельны.

Поток напряженности через S по определению

.

Последний интеграл равен 0, поскольку на боковой поверхности и их скалярное произведение равно 0. В силу зеркальной симметрии, параллельности векторов на основаниях и неизменности вектора вдоль по основаниям

.

Значит,

.

По теореме ОГ

.

Легко сообразить, что заряд, охваченный «консервной баночкой» гауссовой поверхности S, сосредоточен на площади Sосн, вырезаемой ею на плоскости заряда. Следовательно, . Значит, по теореме ОГ имеем:

.

Тогда можно составить равенство:

.

Проведя сокращение, получаем:

13.5.3. Напряжённость поля равномерно заряженной бесконечной прямой нити

Рис.13.13

Рисунки 13.13 отражают цилиндрическую симметрию системы. Гауссовой поверхностью S для этой системы является также «консервная баночка» в виде цилиндра, коаксиального заряженной нити. Её боковая поверхность параллельна оси заряда, а основания ей перпендикулярны.

Из рисунка видно, что на основаниях поток равен 0, а на боковой поверхности

.

Поток напряжённости по тереме ОГ:

.

Тогда получаем равенство:

.

После сокращения получаем:

Контрольные вопросы к главе 13

1. Чему равна сила взаимодействия двух скрещивающихся под прямым углом равномерно заряженных нитей с линейными плотностями соответственно равными 1 нКл/м и -0,5 нКл/м? (Ответ: »2,8 нН)

2. Две одинаковые квадратные тонкие плоские равномерно заряженные пластины расположены против друг друга параллельно друг другу. Площади пластин равны 100 см2. Расстояние между пластинами равно 1,5 мм. Заряд одной пластины равен 50 нКл, другой — (—150) нКл. Чему равна сила взаимодействия между пластинами? (Ответ: »424 мкН)

3. При значении напряжённости электрического поля, равном 3×106 В/м воздух ионизуется и перестаёт быть изолятором. В результате, с заряженных тел, которые он окружает, может стекать заряд. Какой диаметр должен иметь равномерно заряженный провод с линейной плотностью заряда 2 мкКл/м, чтобы удержать заряд? (Ответ: »1,2 см)

4. В равномерно заряженном шаре с объёмной плотностью заряда, равной 5 нКл/м3 вырезали сферическую полость, центр которой находится на расстоянии 2 см от центра шара. Чему равна напряжённость поля внутри полости? (Ответ: »3,8 В/м)

Глава 14. ЭЛЕКТРОСТАТИКА. ПОТЕНЦИАЛ

§14.1. Потенциальность электростатического поля

Сразу же подчеркнём, что речь идёт не о любом электрическом поле, а о поле, созданном зарядами. Вспомним рисунок векторного поля напряжённости точечного источника.

Рис.14.1

Все векторы этого поля направлены от центра, в котором находится источник (в случае отрицательного заряда все векторы направлены в центр). Это означает, что векторное поле точечного заряда центрально. В одной из лекций по механике мы говорили, что вектор центрального поля всегда равен произведению модуля, который зависит от расстояния до центра поля, на радиальный орт . На прошлой лекции было приведено векторное выражение напряжённости поля точечного заряда:

,