Деформация кручения
4.2. Деформация кручения.
Вывод момента для кручения цилиндра:
(угол поворота стержня),
(угол поворота сечения):
. Применим формулы для деформации сдвига:
, значит
. M – крутиильный момент:
, где G – сила:
, следовательно,
или
, интегрируем:
. Запишем как:
–связь момент с углом, где
крутильная жесткость толостостенной трубки;
– крутильная жесткость сплошного цилиндра. Кручение – неоднородная деформация (внутренние слои испытывают меньшую деформацию, чем внешние).
Крутильные весы , сила для поворота на угол ϕ
, где
. Крутильный маятник: момент инерции шариков на концах:
. Повернём на угло ϕ0. Угловое ускорение
. Уравнение гармонических колебаний ϕ= ϕ0cos(ωt+α), где
или в Герцах:
.
4.3. Деформация изгиба.
Изгиб балки: и
, следовательно,
; По закону Гука:
. Момент действующий сбоку.
,
,
, где I – момент инерции поперечного сечения балки, относительно поперечной оси, лежащей в нейтральном сечениии
. Для круглого сечения радиуса R: dS=rdrdα, y=rsinα:
. Для прямоугольника со сторонами 2a и 2b: dS=dxdy, S=4ab:
.
Прогиб консольной балки
Момент силы: ,
, значит
, причём
, следовательно,
, а значит
.
– стрела прогиба консольной балки.
Колебания нагруженной балки . Значит z= z0cos(ωt+α), где
.
Перерезывающая сила. Рассмотри элемент балки dx. Уравнение моментов: M(x)-M(x+dx)-Fndx=0, продефференцируем: , следовательно
(показывает появление сдвиговых деформаций), где
, т. е. они появляются при переменном радиусе кривизны R(x).
Устойчивость упругого равновесия: Бифуркация – два (или более) устойчивых положения(F=Fкр). ; Mx-Fz(x)=0. Решение: z(x)=Acoskx+Bsinkx, где
. При z(0)=0, kl=πn:
, при n=1
при n=1 критическая сила (стержень прямолинейный)
ВОЛНОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В УПРУГИХ СРЕДАХ
Вывод волнового уравнения
из закона Гука;
сила;
;
2й закон Н;
Решение этого уравнения может быть записано в виде суммы двух членов:
u(x, t) = f(x−t) + g(x+
t)
Звуковые волны в тонком стержне:
Характеристики звуковой волны, распространяющейся в бесконечном упругом стержне:
u(x, t)=B cos (kx-t+
)
такие волны называются гармоническими. Аргумент гармонической функции ϕ =kx − ωt + ϕ0называется фазой волны
Волны в тонких пластинах:
,
Волны в неограниченных упругих средах
Продольные волны — волны, связанные с деформациями растяжения-сдвига внеограниченных упругих средах, причем направление этих деформаций
совпадает с направлением распространения волны.
Закон Гука для продольных деформаций:
.