| Элементы квантовой статистики

Таблица элементов, предложенная Д. И. Менделеевым (1869г) на основе их химических свойств, с открытием электронного строения атомов полностью объясняется электронной конфигурацией атомов.

ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ И ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА.

КЛАССИЧЕСКАЯ И КВАНТОВЫЕ СТАТИСТИКИ.

В системах, состоящих из очень большого числа частиц (газы, потоки света, электронное облако в металлах), невозможно проследить за движением одной частицы, тем более с учетом двойственной корпускулярно-волновой природы всех частиц. В таких случаях применяют статистические методы, вводя средние значения характеристик частиц и параметры, которые свойственны не отдельным частицам, а ансамблю частиц в целом.

В любой статистике основным законом является вероятностный закон распределения частиц по энергиям. Если обозначить энергию частицы как E, а

вероятность того, что частица имеет такую энергию как f, то должна быть известна функция распределения, т. е. зависимость f (E). [xviii] Зная эту зависимость, можно найти число частиц с энергиями в заданном интервале и вычислить, например, теплоемкость, электрическую проводимость и др. свойства вещества.

В нашем курсе мы не можем рассматривать вывод функций распределения, укажем только, что существует классическая статистика Максвелла-Больцмана и две квантовые статистики

В классической статистике частицы считаются различимыми друг от друга [xix] В квантовой механике считается, что однотипные частицы, например, электроны, имеют совершенно одинаковые свойства – массу, электрический заряд, спин и считаются неразличимыми. Одни квантовые частицы имеют целые спины — их называют бозонами, поведение бозонов описывается симметричными пси-функциями, а статистику называют статистикой Бозе-Эйнштейна. Другие квантовые частицы имеют полуцелые спины, их называют фермионами, поведение их описывается антисимметричными пси-функциями, а статистика называется статистикой Ферми-Дирака. [xx] Фермионы подчиняются принципу Паули, а бозоны – нет.

1) Классическая статистика Максвелла – Больцмана. Она применяется в молекулярно-кинетической теории к молекулам газа. Закон распределения молекул по энергиям (закон Больцмана) имеет вид:

f — вероятность того, что частица имеет

энергию E,

k – постоянная Больцмана,

T – абсолютная температура

График f (E) приведен на рис. А – некоторая константа

(А = f при E = 0). Из графика и формулы следует, что классическая частица может иметь любую энергию, хотя и с разной вероятностью.

2) Квантовая статистика Бозе – Эйнштейна. Описывает поведение бозонов — частиц с целым или нулевым спином. Например, атом водорода состоит из электрона и протона, имеющих полуцелые спины. Но спины могут быть либо параллельными, либо антипараллельными, поэтому атом водорода в нормальном состоянии будет бозоном. Ядро атома гелия-4 (альфа-частица) – тоже бозон, т. к. состоит из 2-х протонов и 2-х нейтронов. Сам атом гелия-4 тоже бозон, т. к. у него два электрона. Но ядро атома гелия-3, состоящее из двух протонов и одного нейтрона не является бозоном. К бозонам относятся также фотоны и мезоны.

распределение Бозе-Эйнштейна;

f — вероятность того, что частица имеет энергию E,

k – постоянная Больцмана,

T – абсолютная температура,

m — некоторый параметр распределения.

Бозоны не подчиняются принципу Паули, т. е. данное значение энергии могут иметь многие бозоны в системе.

Сверхтекучесть.

В 1938 г П. Л.Капица открыл явление сверхтекучести гелия. Гелий уникален тем, что даже при самых низких температурах он не затвердевает, оставаясь жидким.

В области температур от 4,2 К до 2,18 К (l — точка) гелий ведет себя как обычная жидкость, и в этой области температур его называют гелий-I. Ниже l — точки гелий становится сверхтекучим, и его называют гелий II.

Одно из свойств сверхтекучего гелия является способность проводить тепло без каких-либо потерь. Если подвести тепло к какой-либо точке жидкого гелия при температуре выше l — точки, жидкость закипит, бурно выделяя пузырьки. Если, продолжая подводить тепло к этой точке, охладить гелий до l — точки, кипение прекращается, потому, что тепло мгновенно распространяется по всему образцу, и вся жидкость сразу же приобретает одну и ту же температуру.

В сверхтекучем гелии отсутствует вязкость, он беспрепятственно протекает через самые узкие капилляры, которые не пропускают не только обычные жидкости, но и гелий-I.

При температурах ниже 1 К весь гелий переходит в сверхтекучее состояние.

Объяснить сверхтекучесть гелия можно только на квантовомеханическом уровне. Атом гелия имеет нулевой спин, т. е. является бозоном и, следовательно, не подчиняется принципу Паули. При понижении температуры энергия атома гелия понижается, и при достаточно низкой температуре все атомы оказываются в наинизшем возможном энергетическом состоянии. Но если все атомы имеют одну и ту же энергию, то они имеют и одну волновую функцию. Таким образом, атомы сверхтекучего гелия действуют согласованно, как единое целое. Поэтому когда мы прикладываем тепло в одной точке жидкого гелия, мы передаем ее сразу всему образцу. Между атомами невозможен обмен энергией, т. к.у всех она одна и та же – наинизшая. Энтропия сверхтекучего гелия равна нулю. Фермион только один может иметь данную энергию, или два, но с разнонаправленными спинами, поэтому гелий-3, является фермионом, не обладает сверхтекучестью.

Сверхпроводимость.

В 1911 г. Камерлинг-Оннес обнаружил, что при температуре 7,2 К сопротивление свинца внезапно становится равным нулю.

(см. рис.), и свинец становится сверхпровдником. В одном из опытов в образце был наведен ток несколько сотен ампер, через год ток не изменился. В настоящее время известны более тысячи веществ, которые при различных низких температурах становятся сверхпроводниками. Очень важно, чтобы вещество было чистым, без посторонних примесей.

Квантовая теория сверхпроводимости был разработана Бардиным, Купером и Шриффером (теория БКШ). Как и сверхтекучесть, сверхпроводимость наблюдается для частиц, которые являются бозонами, т. е. имеющими нулевой или целый спин. В сверхпроводнике при некоторых условиях электроны проводимости объединяются попарно, при этом у них противоположно направлены спины, и они становятся бозонами. Эти пары неустойчивы, они легко разрушаются под действием тепловых колебаний, и могут существовать только при очень низких температурах. При некоторой критической температуре все пары-бозоны оказываются в наинизшем энергетическом состоянии и имеют одну и ту же волновую функцию. Ни одна из пар не может изменить своего состояния, т. к. у всех оно одно и то же. Поэтому при приложении внешнего поля попарные электроны действуют как единый коллектив, движутся все вместе, не теряя энергии и не встречая сопротивления.

Использование сверхпроводников в технике и для научных исследований имеют большие перспективы, т. к. при этом снижаются до минимума потери на джоулево тепло. Но пока они не получили широкого распространения из-за целого ряда трудностей. Например, создание поезда на магнитной подушке, который мог бы двигаться со скоростью 500 км/ч, требует огромных затрат, дорога должна быть прямой, неясно влияние сильных магнитных полей на пассажиров, содержание такой дороги стоит больше, чем содержание авиации. При передаче электроэнергии на большие расстояния выгоднее использовать переменный ток, тогда как сверхпроводники работают на постоянном токе. Многие трудности были бы преодолены, если бы удалось создать сверхпроводник

при более высоких температурах, в идеале – при комнатной температуре. Во всем мире идут поиски таких материалов, но пока максимальная температура 125 К.

3)Квантовая статистика Ферми-Дирака. Описывает поведение фермионов –частиц с полуцелым спином. К фермионам относятся электроны, протоны, нейтроны, нейтрино, ядра атома гелия-3. Мы будем рассматривать распределение Ферми-Дирака (ФД) только в применении к свободным электронам в металле. Основное отличие статистики ФД в том, что данное значение энергии может иметь только один электрон.

Закон распределения частиц по энергиям в статистике ФД имеет вид:

распределение Ферми-Дирака,

f — вероятность того, что частица имеет энергию E,

k – постоянная Больцмана, T – абсолютная температура,

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.