Граничные условия на поверхности тела

Вопрос №9

Граничные условия на поверхности тела.

Граничные условия – условия на поверхности, ограничивающей тело. Эти условия диктуют задание или внешних поверхностных сил, или перемещений точек поверхности тела. Различают такие группы граничных условий:

1. Кинематическая – известны прогибы и углы поворота сечений:

а) сечение с нормалью :

b) сечение с нормалью :

2. Статическая – известны внутренние силы:

а) сечение с нормалью :

b) сечение с нормалью :

Xν=σxl+τxym+τxzn;

Yν=τyxl+σym+τyzn;

Zν=τzxl+τzym+σzn

3. Смешанная – известны часть перемещений и внутренних сил.

На рис. (5.2) показана срединная плоскость пластины с условиями закрепления и действующей нагрузкой. Запишем граничные условия для всех её краев:

1. При (5.8)

(смешанная группа).

2. При (5.9)

(смешанная группа).

3. При (5.10)

(кинематическая группа).

4. При (5.11)

(статическая группа), где — интенсивность приведенной поперечной силы.

Решение задач теории упругости с данными условиями границы – единственно.

Вопрос №10

Плоское деформируемое состояние (основные гипотезы, упрощения, следующие из этих гипотез.)

В упругом теле плоская деформация возникает, если перемещения происходят только параллельно плоскости xOy:

u = u (x, y), v = v (x, y), ω = 0.

Плоское деформированное состояние, при котором деформации из плоскости, т. е. в направлении оси , равны нулю: , , . К этой задаче относится расчет тел, вытянутых вдоль оси , под действием нагрузки, перпендикулярной оси и постоянной вдоль нее. ( Например, длинные пластины, подпорные стенки, плотины).

Для их расчета из тела вырезают полоску единичной ширины (рис. 3.1).

Отсутствие линейных деформаций в направлении оси Oz ведет тем не менее к появлению нормальных напряжений σz. Эти напряжения зависят от напряжений, действующих в плоскости xOy.

Из третьей формулы закона Гука при отсутствии деформации εz следует, что

εz = [σz – ν(σx + σy)]/ E = 0

откуда

σz = ν (σx + σy),

Подставляя эти соотношения в первые две формулы закона Гука, находим

Отсюда следует, что

τyz = τzx = 0, σx = σx (x, y), σy = σy (x, y), τxy = τxy (x, y)

Основные уравнения теории упругости упрощаются следующим образом. Из дифференциальных уравнений равновесия остаются только два:

а третье обращается в тождество.

Из условий поверхности остаются тоже только два:

Из шести формул закона Гука остаются только три:

Если ввести новые упругие постоянные

E1 = E/ (1 – ν2)

ν1 = ν/ (1 – ν),

То эти формулы примут более удобный вид: