Исследование решения двухточечной краевой задачи

1.  Задание исследования
Провести исследование решения двухточечной краевой задачи методом прогонки на языке С++.
2. Подробное описание задачи и методы её решения
Физические процессы часто описываются обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями второго порядка. В некоторых случаях представляет интерес описание процесса на некотором интервале изменения аргумента при условии, что на обеих границах этого интервала заданы значения линейных комбинаций состояний процесса и его первых производных. Такая задача называется линейной двухточечной краевой задачей и может быть решена с помощью так называемого метода прогонки. Метод прогонки часто еще называют алгоритмом Томаса.
Сначала требуется найти функцию y(x), на отрезке [a, b], которая удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению и краевым условиям:



где p(x), q(x), f(x) — известные непрерывные на отрезке [a, b] функции, — заданные постоянные, причем .
Предполагается, что отрезок [a, b], на котором будет находиться решение этого уравнения, разбит на n равных частей системой точек (сеткой).

Пусть pi, qi, fi, yi — значения соответствующих функций в узлах сетки. Тогда вычисления производятся в два приема (прямой ход и обратных ход ) следующем порядке:
·  Прямой ход:
Вычислить набор значений mi и ki по формулам:
, (i=0,1,…..,n-2)
Затем находим набор значений ci и di:
,
;

·  Обратный ход:
Находим все значения функции yi:



Таким образом, все вычисления как бы прогоняют два раза. Вычисления прямого хода заготавливают вспомогательные числа ci и di в порядке возрастания индекса i. При этом для вычисления с0, d0 используется краевое условие на левом конце отрезка интегрирования. Затем на первом шаге обратного хода происходит согласование полученных чисел сn-2, dn-2 с краевым условием на первом конце отрезка интегрирования, после чего последовательно получаются значения искомой функции yi в порядке убывания индекса i.
Примените метод прогонки для приближенного решения следующей краевой задачи:




3. Описание работы программы и результаты исследований
Программа написана на языке С и является консольным приложением. Данная программа позволяет получить решение вышеуказанного уравнения на интервале от ab[0;1] в точках Xn с шагом h=(b-a)/n, где n – число точек на интервале, при параметрах fi и S. Значения fi приведены в таблице. S же, изменяется от нуля до пяти, с шагом в единицу.

При запуске программы происходит последовательный расчет значений искомой функции в зависимости от S от первого значения f. Затем выполняется замена значений f в точках на следующее. Рассчитываются значения для всех S (от 0 до 5). Все результаты промежуточных вычислений выводятся на экран.

Окончательным результатом программы являются значения yi при разных значениях S и f. В ходе работы программы все полученные значения функции в шести точках (краевые значения равны нулю), номер fi, значение S записываются в файл “пакет. xls”, находящийся в корневой папке программы.