принцип даламбера

Согласно принципу Даламбера, в любой момент времени имеет место равновесие сил инерции, активных внешных сил и сил реакции связей находящейся в движении системы.

В этом случае необходимым и достаточным условием равновесия является равенство нулю геометрической суммы сил и суммы моментов этих сил относительно произвольной точки A, т. е.

(3.1)

(3.2)

где Pu = mi. ai — сила инерции; Pi — активная сила; Ri — реакция связи, приложенная к произвольной массе системы.

Недостатком принципа Даламбера является то, что для его использования требуется учет направления действия сил инерции и действующих ускорений, что не всегда возможно.

Наиболее общим и простым методом решения задач динамики для несвободных систем является метод Лагранжа, основанный на понятии обобщенных координат. Для получения дифференциальных уравнений движения методом Лагранжа необходимо составить выражение для кинетической и потенциальной энергии системы в функции выбранных обобщенных координат.

Уравнение Лагранжа для обобщенной координаты x имеет вид

(3.3)

где обобщенная скорость: ; К и П — соответственно кинетическая и потенциальная энергии исследуемой системы; Px — движущая обобщенная сила.

Кинетическая энергия вращающихся и поступательно движущихся масс

где и соответственно момент инерции, угол поворота и угловая скорость любого вращающегося элемента относительно оси его вращения; m, S и соответственно масса, путь и линейная скорость любого поступательно движущегося элемента рассматриваемой системы.

Потенциальная энергия системы

где C и K — угловая (при кручении) и линейная жесткости элемента x системы; и S — угол закручивания и перемещение элемента x.

С понятием обобщенной координаты x связано понятие обобщенной силы Px. Эта сила равна частному от деления элементарной работы dA, производимой всеми силами (как внутренними, так и внешними), действующими на систему, на бесконечно малое приращение обобщенной координаты dx:

Px = dA/dx.

При составлении уравнений движения системы распределенные массы заменяют сосредоточенными, а рассредоточенные – приведенными.

Основная литература [3, c. 326…330]

Дополнительная литература [10, c. 47…50]

Контрольные вопросы:

1. В чем заключается принцип Даламбера? Назовите его недостаток.

2. Напишите уравнение Лагранжа.

3. От каких параметров зависят кинетическая и потенциальная энергии системы?

Лекция 4

Динамика подъема и опускания грузов кранами при переходных режимах работы механизмов

Динамические нагрузки, возникающие в процессе подъема или опускания груза, зависят от того, как производится подъем груза – «с веса» или «с подхватом».

В первом случае нагружения предполагается, что груз уже приподнят и статическая нагрузка на подъемный канатный полиспаст равна весу груза Qст.

Во втором случае нагружения предполагается, что груз лежит на опорном основании и канатный полиспаст не нагружен. Динамическая нагрузка возникает в период, когда к подъемному полиспасту и грузозахвату, движущемуся со скоростью подъема груза , будет приложен вес груза. При этом динамическая нагрузка будет:

где k — жесткость опорной конструкции.

4.1. Подъем груза «с веса» (рис. 4.1)

В данном случае систему конструкции крана можно свести к двухмассовой, заменив жесткость канатов Kп и жесткость конструкции крана Кк приведенной жесткостью

К = Кп. Кк/(Кп + Кк).

Рисунок 4.1 — Схемы динамического нагружения при подъеме груза «с веса»: а – в стреловом кране; б – в кране мостового типа; в — расчетная схема

Тогда упрощенную систему можно представить состоящей из двух масс: mр — массы ротора двигателя и приведенных к нему масс механизма подъема и mr — массы груза, связанных между собой упругим элементом с приведенной жесткостью k.

Для составления уравнений движения системы кран-груз применяем принцип Лагранжа, как наиболее универсальный. При перемещениях Xp массы mp и Xr массы mr кинетическая K и потенциальная П энергии составляют:

П=k(xp — xг)2/2.

Подставив данные выражения в уравнение Лагранжа, получим систему уравнений