Неоднородное уравнение даламбера

где — результирующая напряженность.

где .

Для анализа поляризации зафиксируем координату x так, чтобы . Тогда в этой точке x останутся чисто гармонические колебания (во взаимно ортогональных направлениях: y и z), и вектор напряженности будет иметь вид:

Выделим действительную часть вектора напряженности электрического поля .

В нашем разложении оба вектора изменяются по одинаковому закону:

Т. о. наши колебания вектора напряженности электрического поля происходят следующим образом: достигает максимального значения в том случае, если t=0. С включением времени, убывает, так как косинус убывает, но время идет, и следовательно, пойдет в отрицательную сторону.

Таким образом, у нас вектор напряженности электрического поля колеблется вдоль одной прямой. Т. о. мы имеем дело с линейной поляризацией.

г) Эллиптическая поляризация плоской монохроматической волны.

Рассмотрим случай, когда фазовые множители связаны соотношением:

где . Тогда амплитуда колебаний имеет вид:

Зная, что , получаем:

Выделим действительную часть комплексной амплитуды:

Можно найти траекторию кончика результирующего вектора .

Следовательно, конец вектора будет двигаться по траектории эллипса.

Получили эллиптические колебания, следовательно, имеем эллиптическую поляризацию.

Если – правая эллиптическая поляризация (см. рис.). В случае, когда
– левая. Если , то эллиптическая поляризация переходит в круговую, если или равен нулю – вырождается в линейную.

Оказывается, что эллиптическую поляризацию всегда можно представить в виде суммы двух круговых поляризаций. Причем степень эллиптичности зависит от того, какой будет разница между амплитудами. Это продемонстрировано на рисунке ниже.

§ 5.4. Неоднородное уравнение Даламбера.

Запаздывающие и опережающие потенциалы

В данном параграфе мы получим неоднородное волновое уравнение при наличии токов и зарядов, которые создают поля. Для этого рассмотрим уравнение потенциалов при наличии токов, его можно получить исходя из второй пары уравнений Максвелла:

Раскроем тензор электромагнитного поля:

Пользуясь неоднородностью потенциалов, наложим на них дополнительное условие –калибровка Лоренца:

Используя этот (5.4.2) для (5.4.1) получим:

Выражение (5.4.4) – неоднородное уравнение Даламбера.

Подставляя μ=0,1,2,3,, запишем:

Найдем решение этих уравнений.

Решение находим в два этапа.

1. Решим уравнение вне клеточки, где находится заряд. Будем считать, что точка S находиться на очень большом расстоянии. В этом случае правая часть уравнения равна нулю.

Т. к. размеры заряда ничтожно малы, следовательно, можно считать, что наш потенциал будет обладать сферической симметрией, запишем лапласиан в сферической системе координат.