Непрерывные отображения мсс

Системы координат. Положение материальной точки можно охарактеризовать положением той геометрической точки пространства, с которой она совпадает в настоящий момент времени. Для отличия одних геометрических точек от других, в пространстве вводится понятие «ближе — дальше», «выше — ниже», «левее — правее» по отношению к некоторому наблюдателю. Этим самым вводится система координат. Ввести систему координат в пространстве — это означает, что надо поставить в соответствие каждой точке пространства упорядоченную тройку чисел.

Время определим как некоторый скалярный параметр, характеризующий продолжительность естественных или искусственных протекающих периодических процессов во Вселенной.

Движение материальной точки. Процесс перемещения материальных точек из одних положений в пространстве в другие будем называть движением этих материальных точек. Любые перемещения материальной точки из одной точки пространства в другую происходят не мгновенно, а имеют некоторую продолжительность, которая может быть сравнена с продолжительностью выбранного за эталон периодического процесса, и, следовательно, может быть охарактеризована параметром времени. Будем считать, что время течет равномерно и прямолинейно от прошлого к будущему и бесконечно делимо.

1.2 НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

Деформация. Определение среды как сплошной (СС) и введение материальных точек приводит к формулировке основных положений механики сплошных сред, соответствующих непрерывной модели физических систем, которая оперирует основными понятиями теории поля. Главной задачей теории поля является исследование дифференциальных уравнений в частных производных, которые справедливы в евклидовом пространстве механических, термических и электромагнитных параметров состояния, зависящих от пространственных координат и времени. Для классической теории поля характерно использование гипотезы, согласно которой реальное пространство является евклидовым. Таким образом, всегда возможно введение неподвижной декартовой системы координат . Рассмотрим две области и пространства, содержащие некоторое количество непрерывно распределенной материи. Опишем деформацию в физическом смысле, переводящую вещество из области в область см. рис. Пусть — вектор произвольной точки в при деформации переходит в , соответствующий точке , в области . Такую деформацию можно описать преобразованиями

(1.1)

(1.2)

Если пробегает множество точек , то по (1.1) его образ пробегает множество точек , это позволяет говорить, что деформируется в , и, наоборот, из (1.2) вытекает, что деформируется в . В дальнейшем вместо координат с индексом «0» будем иногда использовать обозначения .

Аксиома непрерывности пространства гласит: Любая деформация может быть описана лишь однозначными преобразованиями, имеющими непрерывные производные нужного порядка.

Эта аксиома исключает нереальную деформацию, а часто и физически допустимые сингулярности. Математически это условие означает, что якобиан деформации

удовлетворяет следующему соотношению

.

Следствия из аксиомы непрерывности. Известное соотношение между элементами объема деформированной и недеформированной областей

,

позволяет сделать следующие заключения: 1) материю, находящуюся в конечном объеме, невозможно путем деформации перевести в нулевой или бесконечно большой объем; 2) материальная частица до деформации остается частицей и после деформации.

1.3 ДВИЖЕНИЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

Движение сплошной среды. Движение СС можно определить как однопараметрическое семейство деформаций, где параметром является время:

(1.3)

(1.4)

Другими словами, (1.3) определяет отображение материальных точек СС, находящихся в объеме в материальные точки, находящиеся в в любой момент времени .

Аксиома непрерывности в отношении времени. Любое преобразование, описывающее движение, имеет непрерывные частные производные по времени сколь угодно высокого порядка (практически достаточно до третьего). Эта аксиома тесно связана с бесконечной делимостью времени.

Пример «движения» не удовлетворяющего аксиоме непрерывности в отношении времени. Дискретное движения объектов, которое можно наблюдать, например, на экране монитора. Это движение, по существу, представляет собой конечную систему неподвижных кратковременных положений объектов в некоторых положениях, и хотя при частой смене этих положений создается впечатление непрерывного движения, в действительности оно непрерывным не является.

Материальное и пространственное описания. В теоретической механике любая точка, входящая в систему имела свой номер. Для конкретизации такой точки надо указать ее номер, тогда уравнения движения позволят в любой момент времени определить координаты положения этой точки в пространстве. В сплошной среде пересчитать точки невозможно. И для конкретизации отдельной частицы невозможно указать ее номер. Однако, как следует из уравнений (1.3), мы можем конкретизировать частицу координатами ее положения в начальный момент времени, пусть она зафиксирована радиус–вектором . Если уравнения движения СС (1.3) известны, то они позволяют определить координаты места в пространстве, которое займет эта частица в текущий момент времени