Основные понятия механики сплошных сред

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

Основные объекты теоретической механики

• Материальная точка

• Дискретные системы материальных точек

• Абсолютно твердые тела

Основные объекты механики сплошных сред

• Газообразные среды

• Жидкие среды

• Твердые деформируемые тела

Характеристики сплошных сред

• Однородность (неоднородность) относительно некоторого свойства

• Изотропность (анизотропность) относительно некоторого свойства

Типы сил в механике сплошных сред

• Массовые силы действуют на все элементы сплошной среды.

• Поверхностные силы действуют на элемент поверхности,

ограничивающей тело, или ограничивающей внутренний элемент среды.

Основные разделы механики сплошных сред

• Теория упругости – изучение деформаций и возникающих при этом

напряжений в твердых телах.

• Гидродинамика – изучение законов движения жидкостей и газов.

2. ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

2.3. Закон Гука

Деформация ε – относительное изменение размеров тела:

Зависит только от приложенной силы .

Напряжение σ – отношение силы F к площади сечения S:

Вне зависимости от длины и сечения стержня деформация пропорциональна напряжению.

= — закон Гука, где E – коэффициент пропорциональности, называемый модулем Юнга.

2.4. Изменение диаметра стержня

Относительное изменение диаметра стержня − ε⊥ пропорционально

его продольной деформации: ε⊥= −νε, где ν − коэффициент Пуассона.

2.5. Изменение объёма стержня

До: ; после ; .

, значит 0>ν>1/2

2.6. Дифференциальная форма закона Гука: ; деформация: .

2.7. Принцип суперпозиции

Если под действием некоторой силы Fi тело испытывает деформацию εi,

то совокупное действие таких сил F=ΣFi приведет к деформации ε =Σεi

2.8. Пределы применимости теории упругости

Время, которое образец может выдержать под нагрузкой до разрушения, называется его долговечностью.

В большом диапазоне напряжений средняя долговечность тел τ хорошо описывается выражением где U и γ являются эмпирическими параметрами, зависящими от материала образца, Т – абсолютная температура, k – постоянная Больцмана.

3. ОДНОРОДНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ

Однородными называются такие деформации, при которых величина

постоянна по всему телу.

3.1 Гидростатическое давление (параллелепипед в жидкости):

, где – модуль всестороннего объемного сжатия.

3.2 Продольная деформация при запрещённых боковых смещениях:

а).(σx, εy=0, σz=0): ; , значит , значит , где Eэф – эффективный модуль Юнга .

б).(εy=0, εZ=0): ; ,, значит , значит , где E’эф – эффективный модуль Юнга .

3.3. Деформация сдвига (через деформацию растяжения):

Деформации сдвига возникают под действием касательных сил — сил,

направленных вдоль поверхности упругого тела.

Брусок, по сторонам силы G(к углам). Большой брусок, силы из середин сторон (2 силы по диагонали в брусок, 2 силы из него). Сжимаемая диагональ: ; Растягиваемая диагональ: .

Закрепили нижнюю грань бруска. l – длина сторон, d – длина диагоналей, d’ – длина диагонали (растянутой), θ – угол сдвига. По Th косинусов, при cos(π/2+ θ)=sin(-θ)≈-θ: и d’=d+δd: .

Напряжение сдвига: ; Значит , где — модуль сдвига (E/3<μ<E/2).

Изменение площади: ; Значит и δV=LS’-LS≈0.

4. НЕОДНОРОДНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ

Неоднородными называются такие деформации, при которых величина не является постоянной по всему телу.

4.1. Деформация под действием массовых сил (стержень подвешен к потолку)

x – расстояние от потолка до уровня. , тогда , по закону Гука: или , значит , значит . Изменение сечения: ; ; , следовательно, . Подобрали, что . Для получения однородной деформации тело должно экспоненциально сужаться вниз от закреплённого конца.