Основы механики методичка — точность проведения замеров

2. Внося полученные значения (xсрi) в формулу, определяющую искомую величину Y, вычисляют эту последнюю Yср.

3. Дифференцируют выражение, определяющее зависимость искомой величины от величин, измеряемых непосредственно,- берут частные производные по этим величинам.

4. Вычисляют частные производные (f¢xi )ср по средним значениям измеренных величин xсрi.

5. Подставляя полученное в ф. (12), вычисляют DYср

6. По ф. (13) вычисляют величину e.

7. Окончательный результат записывают так:

Y=DY ср± Yср

Пример 2.2. Вернемся к упомянутому выше опыту по определению плотности металла, из которого сделан цилиндр. Из формулы, определяющей плотность, видим, что нам необходимо измерить диаметр D, высоту h и найти массу m.

1. Измерив микрометром диаметр D шесть раз, найдем средний диаметр Dср и среднюю абсолютную ошибку его измерения:

Dср = 1,21 см, DDср = 0.005 см.

Измерив микрометром высоту тоже шесть раз, получим:

hср = 2,56 см, Dhср = 0.006 см.

Взвесив один раз цилиндр, получим массу m = 8.08 г. Наименьший разновес, который употреблялся при взвешивании, был 20 мг. Следовательно, за ошибку определения массы можно принять 5 мг (это не что иное, как приборная погрешность,- см. выше п. 2.1.4). Итак, mср = 8.08 мг, Dmср = 0.01 г.

2. Внося полученные Dср, hср и mср в формулу для плотности, вычисляем последнюю

rср = 4mср / (p Dср 2 hср)= 2.7448 г/см3 .

3-4. Дифференцируем выражение для плотности частным образом по D, h и m и вычисляем их значения при средних значениях аргументов (без учета знаков производных):

(f¢D )ср= 2*4* mср /( p Dср 3 hср)= 4,53686

(f¢h )ср= 4* mср /( p Dср 2 hср2)= 1,072191

(f¢m )ср= 4 /( p Dср 2 hср)= 0,3397

5. Подставляя полученное в ф. (12), вычисляем

Drср=(f¢D )ср*DDср +(f¢h )ср*Dhср +(f¢m )ср*Dmср=4,53686*0,005+

+1,07219*0,006+0,3397*0,01= 0,02268+0,00643+0,0034= 0,02946

6. По ф. (13) вычисляем величину e:

e = Drср/rср= 0,02946/2.7448= 0,01185, что в процентах дает » 1,2%.

Итак, плотность вещества определена нами с точностью 1,2 %. Следовательно, в найденном выше числовом значении rср нет смысла писать последние цифры (…48). Поэтому для rср нужно взять значение rср = 2.74 г/ см3.

7. Записываем окончательно:

r = 2.74 ± 0.03 г/см3 (т. к. Drср= 0,02946» 0,03,- см. замечание в п. 6).

3. РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРОВЕДЕНИЮ И ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Приступая к проведению лабораторной работы, нужно изучить сущность данного физического явления и его теорию по рекомендованному учебнику или лекционному материалу.

Необходимо уделить большое внимание ознакомлению с приборами и установкой. Последнее надо проделать очень тщательно, следя за тем, чтобы никакие посторонние влияния не исказили результатов наблюдения.

3.1. Точность проведения замеров

Наблюдения и отсчеты показаний приборов следует проводить с достаточной точностью, при этом все отдельные измерения повторять несколько раз с одинаковой тщательностью. Очень часто возникает вопрос, с какой точностью надо делать отдельные измерения. Чтобы ответить на этот вопрос, надо разобраться в условиях проведения работы.

Положим, что мы определяем плотность вещества, из которого сделан прямоугольный параллелепипед. В нашем распоряжении имеются аналитические весы, позволяющие определить массу с относительной ошибкой (с точностью) до 0.05 %, а для определения объема мы располагаем прибором, позволяющим сделать измерения только с точностью до 1 %. Ясно, что в этом случае нет смысла делать взвешивание с указанной выше точностью. Вообще бесполезно выходить за пределы точности наименее точно определяемой величины. (Точность характеризуется относительной погрешностью). Однако необходимо обратить внимание на величины, входящие в расчетную формулу в степени больше единицы; их надо измерять с возможно большей точностью

Если опыт повторяется несколько раз, рекомендуется рассчитать искомую величину (хотя бы приблизительно) после первого опыта. Результат этого подсчета может указать на наличие неправильности хода опыта, которую, конечно, надо исключить.

Очень часто при вычислениях необходимы табличные данные, некоторые из них приведены в приложении 3.

3.2. Правила проведения вычислений

При окончательном расчете определяемой величины числовой результат должен оканчиваться тем же разрядом цифр, какой имеет абсолютная ошибка. Чтобы не делать лишних вычислений при сложении, вычитании, умножении или делении, нужно сразу же округлить значения до того разряда цифр, который имеет менее точное число, например:

ü нужно сложить: 26,871 см и 5,6 см,- вместо этого складываем: 26,9+5,6= 32,5 см),

ü вместо умножения 8,23 на 2,1 будем иметь: 8,2*2,1 =17,2.

Если в расчетную формулу входят математические или физические константы, то необходимо разобраться, какое количество десятичных знаков следует принять в расчет. В одном из приведенных выше примеров мы уже сталкивались с числом p; приняв значение p за 3.14, будем иметь Dp =0.005, следовательно, относительная ошибка будет порядка 0.06 %, что во многих случаях превышает точность физических измерений. Очень часто в расчетную формулу, определяющую искомую величину, входят такие величины, значения которых берутся из таблиц.

Абсолютную ошибку каждой такой величины принимают равной пяти единицам знака, следующего за последней значащей цифрой.

Например, при использовании табличного значения удельной теплоемкости воды с = 4161 Дж/ кг*град, абсолютную ошибку считают равной Dс = 0,5 Дж/кг*град.

При вычислении конечного результата нужно находить как относительную, так и абсолютную ошибки.

3.3. Построение графиков

При появлении физической закономерности, установленной во время опыта, полезно ее изобразить графически.

3.3.1. «Ручное» построение графиков

Графики большей частью строят в прямоугольных координатах (иногда в логарифмических), откладывая по оси абсцисс значение переменной величины, по оси ординат — ее функцию. Для построения графика нужно достаточно большое число экспериментальных точек.

Экспериментальные точки наносят на координатную сетку в виде кружков с точкой посередине или в виде крестиков. Масштабы величин должны быть выбраны так, чтобы кривая не получилась слишком растянутой вдоль одной из осей. При этом наблюдается разброс точек, обусловленный погрешностями измерений. Кривую в этом случае надо проводить не через точки, а между ними так, чтобы кривая была плавной и возможно меньше отклонялась от экспериментальных точек (как правило, физические зависимости имеют непрерывную первую производную, что отражается на графике в виде «плавного» ее характера, без изломов).

Рис 1. К построению экспериментальных графиков.

3.3.1. Построение графиков в табличном процессоре Exсel

Все рекомендации п. 3.3.1 в полной мере реализованы в табличном процессоре Exсel,- как в смысле построения графиков, так и проведения расчетов погрешностей и т. п., — то есть заполнения Табл. 1 в п. 2.1.3 или Табл. 1 в Приложение 3.

Кроме того, программа Exсel позволяет наиболее «верным» образом провести график функции (или «тренд»), используя т. н. «метод наименьших квадратов»,- для этого необходимо из дополнительных (теоретических) соображений выбрать аппроксимационную формулу из нескольких аналитических функций.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Список литературы для подготовки теоретического материала к лабораторным работам по разделу «Механика и молекулярная физика»

1.  Т. И. Трофимова Курс физики, М – Высшая школа, 2004, 544 с. ( при использовании изданий других лет просьба руководствоваться здравым смыслом, исходя из темы лабораторной работы)