Параметрические генераторы и усилители

Тема 6. Автоколебательные системы с одной степенью свободы

Конструкция, которая генерирует колебания без внешнего воздействия, называется автоколебательной системой. Автоколебательные системы являются автономными (на них нет воздействия), а также активными (генерируют энергию). Колебательный процесс всегда периодический, а это значит, что полная колебательная энергия системы N = T + V (здесь Т — кинетическая энергия) является периодической функцией времени, т. е. N(t + nT) = N(t) (здесь Т — период колебаний). С другой стороны, в системе действует диссипация, тогда из известного уравнения (1.35)

,

где F(t) — функция, характеризующая диссипативные свойства системы, причём для диссипативных систем F(t) > 0. Также для F(t), исходя из предыдущего равенства и периодичности функции N, справедливо

Но так как для автономных диссипативных систем функция F(t) всегда положительна (а интеграл от всегда положительной функции не может быть равен нулю), то это значит, что в автономных диссипативных системах устойчивые автоколебания невозможны, т. е. всегда требуется подкачка энергии. Например, если рассмотреть простейший последовательный RLC колебательный контур, то функция диссипации будет F(t) = R(i)i2. Таким образом, чтобы возникли устойчивые колебания, необходимо, чтобы значение R(i) хотя бы на каких-то участках было отрицательным.

6.1. Классификация автоколебательных систем

Любая автоколебательная система состоит из некоторого накопителя колебательной энергии (например, резонансный контур) и системы обратной связи (системы управления), которая обеспечивает подкачку энергии в систему от внешнего источника, так скажем, "в такт". По отношению накопителя к подкачке автоколебательные системы делятся на два широких класса:

1.  Осцилляторные системы. В них накопитель энергии является высокодобротным контуром, а добавка энергии от внешнего источника за период колебаний много меньше, чем запас колебательной энергии системы. Это можно объяснить просто. Нам известно, что подкачка должна компенсировать потери. В установившемся режиме подкачка энергии за период в точности равна потерям. Дадим определение добротности: это отношение накопленной энергии к потерям за период. Если добротность велика, то потери за период малы в сравнении с накопленной энергией, следовательно, в осцилляторной системе и подкачка мала в сравнении с накопленной энергией. При этом, если эта подкачка является малым возбуждением, то можно ожидать, что форма колебаний в осцилляторных системах близка к синусоидальной. В этом случае амплитуда и частота колебаний определяются характеристиками системы (характеристиками накопителя) и мало зависит от системы обратной связи.

2.  Релаксационные системы. Накопитель является апериодической системой, а обмен энергией накопителя с внешним источником за период колебаний сравним с запасом энергии в накопителе. Форма колебаний далека от синусоиды и сильно зависит от свойств обратной связи (например, RC мультивибратор).

В качестве знакопеременного сопротивления в автоколебательных системах могут использоваться нелинейные двухполюсники. Нелинейность может быть двух видов: N-типа и S-типа (рис. 35, 36) в зависимости от вида ВАХ нелинейного двухполюсника. Причём, как видно из ВАХ, функции двузначные, поэтому двухполюсники N-типа удобно описывать функцией, где в качестве аргумента взято напряжение, т. е. i = j(u); а S-типа описывать функцией, аргументом в которой будет ток, т. е. u = y(i).

В случае параллельного подсоединения нелинейного двухполюсника с отрицательным дифференциальным сопротивлением к параллельному контуру необходимо использовать элемент с характеристикой N-типа, показанной на рис. 35, так как общим для всех элементов такой колебательной системы является напряжение u.

Уравнение Кирхгофа для этой системы (рис. 37) имеет вид

или после дифференцирования

где j’(u) = di/du — дифференциальная проводимость нелинейного элемента с падающей характеристикой, называемая также крутизной характеристики. Исследуем систему, которая описывается уравнением (6.2), на устойчивость. Для этого рассмотрим состояние равновесия u0. Мы приложили малую амплитуду колебаний, и смотрим, будут ли они нарастать, или будут оставаться постоянными. В этой ситуации при очень малых амплитудах колебаний мы можем положить, что j’(u) » const. Характеристическое уравнение будет иметь вид

,

решение которого

.

Так как решение уравнения (6.2) имеет вид

,

то отсюда видно, что условие нарастания амплитуды колебаний следующее Re(p1,2) > 0. Для этого нужно, чтобы, во-первых, j’(u0) < 0 и, во-вторых, |j’(u)| > 1/R.

При последовательном соединении элементов (рис. 38) общим для всех элементов является ток i. Из правил Кирхгофа по аналогии, уже продифференцировав и разделив на L, получим уравнение движения в такой системе

Проверяя на устойчивость, мы получаем условие неустойчивости колебаний относительно некоторого состояния покоя i0: y’(i0) < 0, |y’(i0)| > R.

Видно, что для обоих случаев первичные координаты разные (в (6.2) это напряжение u0, в (6.3) это ток i0), но на самом деле структура уравнений одна и та же, что в лишний раз подчёркивает изоморфизм процесса. Таким образом, уравнения (6.2) и (6.3) могут быть записаны в безразмерных обобщённых координатах и с безразмерным временем t = wt, где w2 = 1/(LC) в одинаковой форме

Если функция , то это консервативная система (линейный осциллятор); если , то система близка к консервативной (здесь функция в общем случае описывает и нелинейность и диссипацию). Соответственно, если система близка к линейной, т. е. имеет малую нелинейность и малую диссипацию, то она называется томпсоновской (автоколебательная система с одной степенью свободы и малыми нелинейностью и диссипацией). Малость диссипации определяется по сравнению с запасённой энергией, т. е. томпсоновская система — это частный случай осцилляторной системы.

Если, как обычно, положить , то уравнение фазовых траекторий для системы (6.4):

Из физических определений известно, что если система является автоколебательной, то в ней должен существовать стационарный колебательный процесс, который на фазовой плоскости соответствует замкнутой фазовой траектории. Если автоколебания в системе устойчивы, то и замкнутая фазовая траектория также должна быть устойчива, т. е. к ней должны сходиться все фазовые траектории в близкой её окрестности. Подобные предельные фазовые траектории называют предельными циклами.

Уравнение энергетического баланса (6.1) на предельном цикле будет иметь вид

.

Рассмотрим простейший случай, когда диссипация определяется только скоростью: f(x, y) = f(y). Пусть существует какая-то точка равновесия x = x0, y = 0 (система, приведённая в точку равновесия с нулевой скоростью, в ней остаётся навсегда). В этой точке f(0) = 0. Вблизи равновесия функция f зависит только от y, тогда можно ожидать, что вблизи этой точки f(y) » f ‘(0)y. Для неустойчивости состояния покоя необходимо, чтобы f ‘(0)y < 0. В этом случае в системе происходит увеличение колебательной энергии. График —f(y) для автоколебательной системы с малыми потерями должен иметь вид, показанный на фазовой плоскости рис. 39.

В зависимости от знака f(y) вся фазовая плоскость делится на следующие области: I — инкрементная область, в которой вложение колебательной энергии превосходит потери; II — декрементные области, в которых потери превосходят вложения энергии (см. рис. 39).

Для автоколебательной системы, для которой функцию f(y) нельзя считать малой (|f(y)| ~ 1), фазовый портрет системы имеет вид, показанный на рис. 40. В такой системе колебания заметно отличаются от гармонических, процесс установления стационарных автоколебаний происходит значительно быстрее, чем в случае, показанном на рис. 39. Энергообмен в системе значительно больше, чем в системах томпсоновского типа, и выход на предельный цикл происходит примерно за период колебаний. Автоколебательная система такого типа занимает промежуточное положение между системами томпсоновского и релаксационного типов (она всё ещё осцилляторная, но уже не томпсоновская).

Наташа Автор Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку. Бесплатное Электронная техника зачет Реакции деления ядра. цепная реакция деления Период полураспада Ядерные силы. модели атомного ядра Ядерная физика формулы Рефераты по физике сдают здесь МГМИМО БГУ ГродноГу Другие статьи Заказ решения задач по физике Решение задач по физике с примерами Подготовка курсовых и дипломных работ по физике Скачать готовые работы по физике Изучение физики в лучших ВУЗах России Ядерная физика формулы Электронная техника зачет Ядерные силы. модели атомного ядра Вопросы по физике атомного ядра и элементарных частиц Реакции деления ядра. цепная реакция деления Период полураспада Пробеги и тормозные способности альфа-частиц в алюминии Основы механики методичка — точность проведения замеров Взаимодействие тяжелых заряженных частиц с веществом Основы механики методичка — погрешности Основы механики методичка Введение в механику сплошной среды Тензор деформации грина Возможные неисправности электромагнитных расходомеров Скорость и ускорение мсс Главные направления и главные деформации Непрерывные отображения мсс Вторая часть билетов по атомной физике Введение в механику сплошной среды — примеры Закон движения сплошной среды Определение резонансных частот колебаний колонны бурильных труб. Интенсивность напряжения Тензор напряжений Вопросы по атомной физике 2015 Элементы робототехники Похожая информация Законы фотоэффекта Приближенный метод расчета процесса горения топлива Туннельный диод Теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля Законы теории электрических цепей Расчет статически неопределимой системы Классическая электродинамика Электроснабжение с основами электротехники Производство и передача электрической энергии Распродажа дипломных Скидка 30% по промокоду Diplom2020 Подпишись на наш паблик в ВК Получи промокод на скидку 20% Нужна работа?  Написать дипломную работу у наших партнеров