Первая пара уравнений максвелла в интегральной форме

Здесь – омическая плотность тока, связанная с движением зарядов в проводниках; — плотность тока смещения, определяемая выражением:

Величина введена для обеспечения непрерывности электрического тока в цепях. Например, если в цепи есть конденсатор. По цепи бежит ток, а между обкладками конденсатора будет течь ток смещения.

Продифференцируем вторую пару еще раз по µ. Т. к. , получаем уравнение непрерывности плотности тока:

Можно записать это выражение в явном виде. Для этого просуммируем это выражение по µ:

Отсюда получаем уравнение непрерывности плотности тока в явном виде:

В теории поля под плотностью тока понимают плотность потока электрической жидкости (электрически заряженной), если считать ее несжимаемой, т. е.

С учетом выражения (3.4.19), и определяя из (3.4.6), для уравнения непрерывности получим:

Следовательно,

Рассмотрим случай трубки с током (см. рис.).

В итоге получаем, что

Получили, что внутри объема заряд все время остается постоянным.

§ 3.5. Первая пара уравнений Максвелла в интегральной форме

Уравнения Максвелла в интегральной форме очень удобны при рассмотрении граничных условий и геометрии электромагнитных полей.

Рассмотрим первую пару уравнений в дифференциальной форме.

Для того чтобы получить уравнение в интегральной форме, надо проинтегрировать (3.5.1) по всему пространству:

Тогда полный поток напряженности магнитного поля через замкнутую поверхность равен нулю, т. е.:

Рассмотри магнитный поток подробнее.

где α – угол между направлениями и , а – проекция на нормаль . Поток может быть как отрицательным, так и положительным. Для выходящих линий магнитного поля α– острый, следовательно, , и поток положителен. Если же линии входящие, то α – тупой угол и поток будет отрицательным. Полный поток линий напряженности магнитного поля состоит из суммы потока входящих линий напряженности и потока выходящих линий, а полный поток, как мы уже знаем, равен нулю: