Расчетные выражения для скорости звука в общем виде

Разделим уравнение (1) на dT и умножим на Т при р=const. Тогда имеем:

. (2)

По определению и . После их подстановки в (2) получим:

. (3)

Производная включает калорическую величину – энтропию и неудобна при расчетах. Поэтому заменим эту производную, используя соотношения взаимности Максвелла для смешанных производных от свободной энергии Гельмгольца:

.

Тогда, используя уравнение связи в виде:

, получим:

. (4)

Подставим выражение (4) вместо в (3) и получим:

. (5)

Покажем, как из уравнения (5) можно получить уравнение Майера для идеального газа, дифференцируя уравнение состояния:

. Тогда и .

После подстановки этих производных в (5) получим:

, Дж/К.

Таким образом, получили уравнение Майера для общих теплоемкостей Ср и СV системы:

.

Получим связь между Ср и CV в другом виде, используя производные от натуральных логарифмов параметров и учитывая, что .

Тогда получим, что

и . (6)

После подстановки выражений (6) в уравнение (5) с учетом, что , окончательно получим связь между изобарной и изохорной теплоемкостями в общем виде:

.

7.6.Расчетные выражения для скорости звука в общем виде

По определению адиабатная скорость звука равна:

, (1)

где плотность газа и . Тогда:

. (2)

По уравнению связи частных производных одного параметра по другому имеем:

, откуда:

.

По определению изобарная и изохорная удельные теплоемкости равны:

и . Тогда

. (3)

После подстановки выражения (3) в (2) имеем:

. (4)

По уравнению связи:

, имеем:

. (5)

После подстановки выражения (5) в (4) окончательно имеем выражение для расчета скорости звука в общем виде:

. (6)

Из формулы (6) получим формулу для расчета скорости звука в идеальном газе при условии, что удельная газовая постоянная R не зависит от давления и температуры. Тогда из уравнения состояния для 1 кг идеального газа: , имеем и производную . После подстановки выражения для в формулу (6) получим:

, где — показатель адиабаты, . Тогда: — скорость звука в идеальном газе.

7.7. Максимальная и минимальная теплоты процесса

Уравнения первого закона термодинамики в сложных закрытых ТС при двух фиксированных параметрах имеют вид:

— для изохорно-изотермического процесса (T,V=const): ℒТ,V ;

— для изобарно-изотермического процесса (T,p=const): ℒТ, р.

При написании этих уравнений использовалось правило знаков, принятое в термодинамике, т. е. , если теплота подводится к ТС, и ℒ>0, если работа совершается термодинамической системой. В термохимии принято противоположное правило знаков для теплоты, т. е. теплота , (положительна), если она отводится от ТС. Тогда для конечных процессов 1-2 уравнение 1-го закона термодинамики будет иметь вид: