Решение волнового уравнения

Контрольная работа

Задача 1. Решить первую смешанную задачу для волнового уравнения на отрезке.

Решение:

Запишем решение для волнового уравнения на отрезке длины для условий:

. Где ,

.

Для условий задачи после подстановки a и l будет следующее выражение:

, все равны нулю, т. к. .

.

= ===

=.

= = .

Ответ: .

Задача 2. Решить первую смешанную задачу для волнового уравнения в прямоугольнике.

.

Решение:

Запишем решение для волнового уравнения на прямоугольнике для условий:

;

=;

=;

=.

После подстановки условий задачи получится следующее выражение:

, так как ;

=;

==

==;

=

=.

Ответ: , где =.

Задача 3. Решить первую смешанную задачу для волнового уравнения в круге.

Решение:

Запишем решение для волнового уравнения в круге радиуса для условий :

;

=;

=;

Где =, — функция Бесселя первого рода, — корень с номером уравнения =(это уравнение имеет бесконечное число корней).

Так как .

Подставляем значения из условия задачи в выражения для , ,:

=

=;

=.

Ответ: =, где =,

=, — функция Бесселя первого рода, — корень с номером уравнения =

=.

Задача 4. Найти решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности на отрезке.

; =; .

Решение:

Решим задачу для условий записанных ниже:

; ; .

Применим метод разделения переменных Фурье. Будем искать частное решение уравнения в виде

=. После преобразования, получим два дифференциальных уравнения:

1);

2).

Отыскание для второго уравнения представляет собой задачу Штурма – Луивилля, собственные значения которой , а собственные функции , где целое и .

Решение первого уравнения следующее (используется индекс k, так как каждому соответствует свой , и получается бесконечное счетное множество решений).

=, где частные решения уравнения . Из граничных условий следует, что и , обозначим =, и получим

=. Запишем общее решение как сумму частных =

==. определим из начальных условий :

= =. Отсюда видно, что являются коэффициентами разложения в ряд Фурье по синусам = .

Найдем для условий нашей задачи:

= +=

==

=.

Ответ: .

Задача 5. Найти решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности в круге.

Решение:

Запишем решение для волнового уравнения в круге радиуса для условий в полярных координатах:

.

Будем искать частное решение в виде . Тогда ,

.Отсюда получаем два уравнения:

1)

2).

Решением задачи Штурма-Лиувилля для R будут собственные значения и собственные функции , где — функция Бесселя первого рода нулевого порядка,— корни уравнения , n – целое число n > 0.

Соответствующие решения уравнения будут такими: .

Тогда ==.

Общее решение будем искать в виде . Воспользуемся начальными условиями , подставив значение и получим:

— это коэффициенты Эйлера-Фурье разложения функции в ряд по

= , где — функция Бесселя первого рода первого порядка.

В результате мы имеем:

, = .

Подставим значения из условия задачи :

, =.

Ответ: , =.

Задача 6. Используя формулу Пуассона, найти решения задачи Коши для уравнения теплопроводности.

.

Решение:

Для условий формула Пуассона записывается в виде:

. У нас . После подстановки значений в интеграл, получим:

==.

Результатом вычисления интеграла , где — константы, является выражение:

= Для интеграла нашей задачи ; ; .

Тогда после преобразований =. Таким образом

==.

Ответ: =.

Задача 7. Найти общее решение уравнения.

.

Решение:

Приведем уравнение, данное в условиях, к каноническому виду. Для этого составим характеристическое уравнение . Разрешим его относительно dy. Получим два уравнения и . После интегрирования уравнения перейдут в

1)

2) .

Осуществим замену переменных .

Вычислим частные производные новых переменных по старым переменным: .

Так как выражаются линейно через , то получим:

;

;

;

Подставим значения производных:

= ;

=;

= .

Из условия задачи получаем 0==+=.

Общим решением полученного уравнения =0 (предполагается, что все вторые частные производные непрерывны) является функция линейная относительно переменных:

, где — произвольные константы. При возврате к независимым переменным x, y получится функция , где — произвольные константы.

Ответ: , где — произвольные константы.

Задача 8. Решить смешанную задачу.

Решение:

Запишем решение для волнового уравнения на отрезке длины в общем виде:

.

. Где ,

.

Для условий задачи после подстановки a и l будет следующее выражение:

.

Так как при =

=3. При .

Аналогично, для , получим ==1. При .

=

= =.

Ответ: .