Решение волнового уравнения
Контрольная работа
Задача 1. Решить первую смешанную задачу для волнового уравнения на отрезке.
Решение:
Запишем решение для волнового уравнения на отрезке длины для условий
:
. Где
,
.
Для условий задачи после подстановки a и l будет следующее выражение:
, все
равны нулю, т. к.
.
.
=
=
=
=
=.
=
=
.
Ответ: .
Задача 2. Решить первую смешанную задачу для волнового уравнения в прямоугольнике.
.
Решение:
Запишем решение для волнового уравнения на прямоугольнике для условий:
;
=
;
=
;
=
.
После подстановки условий задачи получится следующее выражение:
, так как
;
=
;
=
=
==
;
=
=.
Ответ: , где
=
.
Задача 3. Решить первую смешанную задачу для волнового уравнения в круге.
Решение:
Запишем решение для волнового уравнения в круге радиуса для условий
:
;
=
;
=
;
Где =
,
— функция Бесселя первого рода,
— корень с номером
уравнения
=
(это уравнение имеет бесконечное число корней).
Так как
.
Подставляем значения из условия задачи в выражения для ,
,
:
=
=
;
=
.
Ответ: =
, где
=
,
=
,
— функция Бесселя первого рода,
— корень с номером
уравнения
=
=.
Задача 4. Найти решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности на отрезке.
;
=
;
.
Решение:
Решим задачу для условий записанных ниже:
;
;
.
Применим метод разделения переменных Фурье. Будем искать частное решение уравнения в виде
=
. После преобразования, получим два дифференциальных уравнения:
1);
2).
Отыскание для второго уравнения представляет собой задачу Штурма – Луивилля, собственные значения которой
, а собственные функции
, где
целое и
.
Решение первого уравнения следующее (используется индекс k, так как каждому
соответствует свой
, и получается бесконечное счетное множество решений).
=
, где
частные решения уравнения
. Из граничных условий следует, что
и
, обозначим
=
, и получим
=
. Запишем общее решение как сумму частных
=
==
.
определим из начальных условий
:
=
=. Отсюда видно, что
являются коэффициентами разложения
в ряд Фурье по синусам
=
.
Найдем для условий нашей задачи:
=
+
=
=
=
=.
Ответ: .
Задача 5. Найти решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности в круге.
Решение:
Запишем решение для волнового уравнения в круге радиуса для условий
в полярных координатах:
.
Будем искать частное решение в виде . Тогда
,
.Отсюда получаем два уравнения:
1)
2).
Решением задачи Штурма-Лиувилля для R будут собственные значения и собственные функции
, где
— функция Бесселя первого рода нулевого порядка,
— корни уравнения
, n – целое число n > 0.
Соответствующие решения уравнения будут такими:
.
Тогда =
=
.
Общее решение будем искать в виде . Воспользуемся начальными условиями
, подставив значение
и получим:
— это коэффициенты Эйлера-Фурье разложения функции
в ряд по
=
, где
— функция Бесселя первого рода первого порядка.
В результате мы имеем:
,
=
.
Подставим значения из условия задачи :
,
=
.
Ответ: ,
=
.
Задача 6. Используя формулу Пуассона, найти решения задачи Коши для уравнения теплопроводности.
.
Решение:
Для условий формула Пуассона записывается в виде:
. У нас
. После подстановки значений в интеграл, получим:
=
=
.
Результатом вычисления интеграла , где
— константы, является выражение:
=
Для интеграла нашей задачи
;
;
.
Тогда после преобразований =
. Таким образом
=
=
.
Ответ: =
.
Задача 7. Найти общее решение уравнения.
.
Решение:
Приведем уравнение, данное в условиях, к каноническому виду. Для этого составим характеристическое уравнение . Разрешим его относительно dy. Получим два уравнения
и
. После интегрирования уравнения перейдут в
1)
2) .
Осуществим замену переменных .
Вычислим частные производные новых переменных по старым переменным: .
Так как выражаются линейно через
, то получим:
;
;
;
Подставим значения производных:
=
;
=
;
=
.
Из условия задачи получаем 0==
+
=
.
Общим решением полученного уравнения =0 (предполагается, что все вторые частные производные непрерывны) является функция линейная относительно переменных:
, где
— произвольные константы. При возврате к независимым переменным x, y получится функция
, где
— произвольные константы.
Ответ: , где
— произвольные константы.
Задача 8. Решить смешанную задачу.
Решение:
Запишем решение для волнового уравнения на отрезке длины в общем виде:
.
. Где
,
.
Для условий задачи после подстановки a и l будет следующее выражение:
.
Так как при
=
=3. При
.
Аналогично, для , получим
=
=1. При
.
=
= =
.
Ответ: .