Стационарное уравнение шрёдингера

2) Производные пси-функции должны быть непрерывны,

3) Пси-функция должна подчиняться условию нормировки:

условие нормировки; смысл его в том, что вероятность обнаружить частицу во всем мыслимом пространстве равна 1.

В тех случаях, когда потенциальная энергия зависит только от координат и не зависит от времени, т. е U = U (x,y,z), пси-функцию можно представить как произведение двух функций: Y(x,y,z,t) = y ( x,y,z)×j (t). (Y — большая буква пси,

y — малая буква пси, обе функции называются пси — или волновыми функциями.) Подставим в уравнение (i) и, разделим на (y×j).. Получим:

Левая часть уравнения зависит только от t, правая – только от координат, следовательно, каждая из них должна быть равна некоторой постоянной, которую мы обозначим Е.

j(t) называется временнОй частью пси-функции, со временем она затухает

Если приравнять константе Е правую часть уравнения, получим:

a

стационарное уравнение Шрёдингера

Е – полная энергия частицы,

U – потенциальная энергия

При решении уравнения Шредингера мы

задаем

находим

U – потенциальную энергию

частицы m – массу частицы

y — пси-функцию (собственные функции)

Е – полную энергию частицы (собственные

значения)

Решение уравнения с учетом дополнительных условий, накладываемых на пси-функцию, приводит не к любым величинам энергии Е, а к дискретным:

Е1, Е2,…, Еn . В теории Бора электрон мог находиться тоже только в дискретных энергетических состояниях, но при этом была введена искусственно гипотеза о квантовании момента импульса электрона. Уравнение Шрёдингера приводит к квантованию энергии естественно, как математическое решение.

При решении оказывается, что данному энергетическому состоянию частицы могут соответствовать одна или несколько (к) пси-функций. Иначе говоря, при данной энергии Еn частица может вести себя по-разному. Тогда говорят, что уровень Еn к-кратно вырожден и обозначают пси-функцию как Если на систему воздействовать внешним, например магнитным полем, то вырождение снимается, уровень расщепляется на несколько уровней. Практически это обнаруживается в спектрах, вместо одной линии появляются несколько. Например, в спектре атома водорода на приборе с большим разрешением можно обнаружить, что почти все линии спектра являются дублетами.

Рассмотрим подробнее пси-функцию.

y — пси-функция

физического смысла не имеет

1/м3

для 3-х-мерного случая

плотность вероятности (квадрат модуля пси-функции) – по смыслу – это вероятность того, что частица находится в единичном объеме в данном месте пространства

Р – вероятность.

1/м

для одномерного случая

—²—…. вероятность того, что частица находится на единичном отрезке…

вероятность того, что частица находится

в элементарном объеме dV

вероятность того, что частица находится

в конечном объеме V

вероятность того, что частица находится

во всем пространстве

Уравнение Шрёдингера (a) решается точно только для упрощенных, нереальных случаев, например, электрон в одномерной потенциальной яме. Из реальных объектов уравнение можно решить точно только для атома водорода при использовании сферических координат и для иона в эллиптических координатах. Во всех остальных случаях для решения применяются приближенные методы.

ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ШРЁДИНГЕРА

Гармонический осциллятор.

В классической физике гармоническим осциллятором называют частицу, совершающую движения по закону синуса или косинуса. Потенциальная энергия такой частицы U = кх2/2, частота колебаний . Посмотрим, к каким результатам приведет решение уравнения Шрёдингера (a), если его применить к одномерной частице, которая обладает такой потенциальной энергией.

уравнение Шрёдингера для гармонического осциллятора

Т. к. случай одномерный, оператор Лапласа

Dy =d2y / dx2, потенциальная энергияU = кх2/2.

Мы не приводим решение этого уравнения, т. к. оно выходит далеко за рамки курса. [xv] Из решения следует, что полная энергия Е такого осциллятора квантуется:

Полная энергия квантового осциллятора

n = 0, 1, 2,…,¥

при

n = 0

Эта величина называется нулевой энергией осциллятора.

По классическим представлениям при Т ® 0 К энергия должна стремиться к 0, решение уравнения Шрёдингера приводит к выводу о существовании нулевой энергии;

даже при абсолютном нуле (Т= 0 К) частица имеет энергию ¹ 0.

На рис. показаны плотности вероятности при различных энергиях Е осциллятора. Если мы спросим себя, а как ведет себя частица, ведь нам всегда хочется наглядно представить процессы. Ответ – не знаем, ведь квантовый объект имеет двойственную природу. Мы можем только сказать, что частица находится в потенциальной яме, имеет определенный набор энергий и, если ее энергия равна, например Е1, то вероятность обнаружить ее в середине ямы равна нулю. При переходе на другой уровень энергия частицы меняется дискретно, и система поглощает или испускает порцию энергии hn.

Существование нулевой энергии следует также из соотношения неопределенности. Действительно.