Учебное пособие по механике

I. ОСНОВЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

1. СТАТИКА

1.1.  Основные понятия

Материальная точка – объект бесконечно малых размеров, обладающий только одним свойством – массой.

Механическая система – любая совокупность материальных точек.

Абсолютно твердое тело – механическая система, расстояние между точками которой не изменяется при любых взаимодействиях.

Силой называют одну из векторных мер механического действия одного материального объекта на другой. Сила характеризуется модулем, точкой приложения, линией действия, следовательно, является величиной векторной.

Система сил – любая совокупность сил. Системы сил, оказывающие одинаковое действие на твердое тело, называются эквивалентными. Система сил, эквивалентная нулю, не изменяет состояния тела (механической системы) и называется уравновешенной.

1.2. Аксиомы статики

1. Аксиома о равновесии системы двух сил.

Для равновесия системы двух сил, приложенных к точкам твердого тела, необходимо и достаточно, чтобы эти силы были равны по модулю и действовали вдоль одной прямой, проходящей через точки их приложения, в противоположных направлениях. Это простейшая система сил, эквивалентная нулю (рис.1).

Рис. 1

Действие такой системы сил на покоящееся твердое тело не изменяет состояния покоя этого тела.

2. Аксиома о добавлении (отбрасывании) системы сил, эквивалентной нулю.

Если на твердое тело действует система сил, то к ней можно добавить (отбросить) систему сил, эквивалентную нулю. Полученная после добавления (отбрасывания) новая система сил является эквивалентной первоначальной системе сил.

3. Аксиома параллелограмма сил.

Две силы, действующие в одной точке твердого тела или на одну материальную точку, можно заменить одной равнодействующей силой, равной по модулю и направлению диагонали параллелограмма, построенного на заданных силах.

Справедливо и обратное положение: силу можно разложить по двум направлениям по правилу параллелограмма:

R = F1 + F2;

;

;.

Проецирование силы на координатные оси (рис. 2):

Рис. 2

Если силы заданы проекциями на координатные оси, то их сумму можно найти аналитическим способом:

Зная модуль суммы и проекции её на координатные оси, можно найти и направление этого вектора.

4. Аксиома о равенстве сил действия и противодействия.

Силы взаимодействия двух твердых тел или точек (при взаимодействии путем соприкосновения или на расстоянии при посредстве силовых полей) равны по модулю и противоположны по направлению. Силы действия и противодействия всегда приложены к разным телам или различным взаимодействующим точкам одного и того же тела.

5. Аксиома связей.

Абсолютно твёрдое тело имеет в трёхмерном пространстве шесть степеней свободы, в двумерном – три степени свободы. Для того, чтобы ограничить перемещение тела на него накладывают то или иное количество связей.

Связью для твердого тела или материальной точки называют материальные объекты (тела или точки), которые ограничивают свободу перемещения твердого тела или материальной точки.

Всякую связь можно отбросить и заменить силой, реакцией связи R (в простейшем случае) или системой сил (в общем случае) (рис3.). Реакция гладкой поверхности или опоры направлена по общей нормали к поверхностям соприкасающихся тел в точке их касания и приложена в этой точке (рис.3).

Реакции связей считают силами пассивными в отличие от заданных, активных сил.

Рис. 3

Если соприкосновение происходит не в одной точке, а по некоторой поверхности, то реакция – система распределенных по поверхности сил, которые в случае малой зоны контакта можно заменить одной равнодействующей силой.

Типовые виды связей:

а) шарнирно-подвижная опора б) цилиндрический плоский

(Рис. 4) запрещает только шарнир (шарнирио – непод —

ертикальное перемещение вижная опора) (Рис. 5)

Рис. 4 Рис. 5

в) сферический (шаровой) шарнир г) жесткая (плоская) заделка (Рис.6) запрещает линейные (Рис.7) запрещает два линей —

переме щения вдоль трёх, ных и угловое перемещения

координатных осей

Рис. 6 Рис.7

где: R – реакция опоры; X, Y, Z – проекции этой силы на координатные оси.

В отличии от активных сил, приложенных к телу, реакции опор являются силами неизвестными. Определение реакций опор и является, обычно, основной задачей статики твёрдого тела.

1.3. Теоремы статики

1.Теорема о переносе силы вдоль линии действия.

Действие силы на твердое тело не изменится от переноса силы вдоль своей линии действия (рис.8).

Пусть на тело в некоторой точке действует сила F. На линии действия этой силы приложим две уравновешенные силы F’ и F" такие, что F’ = F и F" = — F. От этого состояние тела не изменится. Но силы F и F" также образуют уравновешенную

Рис. 8. систему сил, которая может быть отброшена.

Таким образом, на тело будет действовать только сила F". Следовательно, сила, приложенная к твердому телу, есть вектор скользящий.

В деформируемом теле силу нельзя переносить вдоль линии действия.

2. Теорема о трех силах.

Если твердое тело под действием трех сил, две из которых F1 и F2 пересекаются в одной точке, находится в равновесии, то линии действия таких трех сил пересекаются в одной точке (рис.9).

Теорема о трех силах позволяет иногда определить линию действия неизвестной силы RA. Обратная теорема неверна.

Рис. 9

1.4. Система сходящихся сил

Системой сходящихся сил (или пучком сил) называют такую систему сил, линии, действия которых пересекаются в одной точке. Сходящиеся системы сил могут быть пространственными и плоскими. Система сходящихся сил имеет равнодействующую:

;

;

.

Для плоской системы сил обычно ось Z направляют перпендикулярно плоскости, в которой лежат силы, и тогда Rz = 0

Условия равновесия системы сходящихся сил

Для равновесия системы сходящихся сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный из этих сил, был замкнутым, т. е. равнодействующая должна быть равна нулю.

Условия равновесия системы сходящихся сил в аналитическом виде: