Волны амплитуды вероятности

2.2.1 Волны амплитуды вероятности

То, что колеблется в волне, связанной с каждым фотоном, называют амплитудой вероятности. При объяснении смысла амплитуды вероятности религиозному человеку можно было бы сказать, что каждая частица имеет душу, которую назвали амплитудой вероятности. Душу наблюдать нельзя, только последстрвия ее существования. Движение частицы это распространение волны души. Рассмотрим свойства амплитуды вероятности.

Любое поведение фотона (или любое состояние) имеет количественную характеристику — амплитуду вероятности. Амплитуды вероятности изображаются стрелками на плоскости, т. е. имеют длину и направление. Движение фотона в пространстве изображается распределением слегка повернутых относительно друг друга стрелок. Мгновенная фотография распределения стрелок в пространстве, изображающая состояние движения фотона, — волна поворота стрелок. О стрелке в заданной точке пространства говорят как об амплитуде вероятности того, что в данной точке пространства окажется фотон. Угол поворота стрелки называется фазой амплитуды вероятности.

2.2.2 Изменение амплитуд со временем

Амплитуда вероятности изменяется со временем. Изменение заключается в том, что стрелка вращается. Угловая скорость w вращения стрелки связана с энергией фотона E формулой Планка E=ћw. Таким образом, фаза амплитуды вероятности фотона увеличивается равномерно со скоростью w=E/ћ. Все стрелки в распределении, изображающем состояние движения фотона, вращаются с одной и той же угловой скоростью. Так что движение фотона — это бегущая волна поворота стрелок амплитуды вероятности. Волновое число k волны амплитуды вероятности связано с импульсом фотона p соотношение де Бройля p=ћk.

2.2.3 Вероятностный смысл амплитуды вероятности

Если на стрелке амплитуды вероятности состояния, как на стороне, построить квадрат, то площадь квадрата даст вероятность оказаться в данном состоянии.

Если в данный момент времени в каждой точке некоторой области пространства существует стрелка амплитуды вероятности ненулевой длины, то приходится считать, что фотон в данное мгновение присутствует в каждой точке данной области. Это главное отличие квантового от классического описания состояния частиц. Несмотря на то, что фотон является частицей, в данный момент времени он находится сразу во всех точках некоторой области пространства.

2.3 Упражнения

Задача 1. Состояние любой физической системы описывается амплитудой вероятности. Фаза амплитуды вероятности пребывания любой системы в состоянии с энергией E изменяется со скоростью w=E/ћ. С какой скоростью изменяется фаза амплитуды вероятности застать атом водорода в основном состоянии?

Решение. Энергия основного состояния атома водорода равна -13,6 эВ =-2,176×10-18 Дж. Скорость изменения фазы амплитуды вероятности застать атом водорода в основном состоянии равна w=E/ћ » 2,1×1016 с-1.

Задача 2. Атом водорода излучил фотон с энергией 10,2 эВ. На сколько повернется стрелка амплитуды вероятности родившегося фотона за время распространения волны амплитуды вероятности на расстояние 10 нм?

Решение. Энергия фотона равна E»1,63×10-18 Дж. Скорость изменения фазы w=E/ћ»1,55×1016 с-1, а так как на указанное расстояние волна распространится за время t=10-8/3×108=0,33×10-16 с, фаза амплитуды вероятности изменится на wt=0,52. Данное изменение фазы как раз равно углу между стрелками, изображающими амплитуды вероятности. Таким образом, искомый угол равен, примерно, 30о.

Задача 3. Состояние фотона, распространяющегося в направлении оси OX, описывается следующим распределением амплитуд вероятности: мгновенная фотография представляет собой последовательность повернутых относительно друг друга стрелок, причем на любых отрезках оси одинаковых длин происходит поворот на один и тот же угол.
а) Какую длину волны имеет распределение амплитуд вероятности фотона, если угол между направлениями стрелок в точках, отстоящих друг от друга на расстоянии 5 нм, равен p/12? К какой части шкалы электромагнитных волн относится данный фотон?
б) Чему равны импульс (в Эв/с) и энергия (в эВ) фотона в данном состоянии?

Задача 4. Квантовое описание частичного отражения света от прозрачной среды. На стеклянную пластинку падает фотон. Длина стрелки амплитуды вероятности непосредственно перед поверхностью пластинки равна единице. За пластинкой длина стрелки составляет .
а) Чему равна вероятность отражения фотона от поверхности стекла.?
б) Опишите, что происходит с каждым отдельным фотоном.
в) Что будет наблюдаться, если за пластинкой установить устройство, детектирующее (регистрирующее) фотон?

Задача 5. Через щель, ширина которой меньше длины волны l, пропускают пучок фотонов. Фотоны попадают на экран, расположенный на расстоянии L от щели.
а) Полагая, что фаза амплитуды вероятности попасть на экран на плоскость симметрии установки равна нулю, найдите зависимость фазы амплитуды вероятности попадания на экран от расстояния до плоскости симметрии установки.
б) Рассмотрите ситуацию L>>x. Получите приближенное выражение фазы.

Решение. а) Предположение, что фаза амплитуды вероятности по­пасть на экран на плоскость симметрии установки равна нулю, означает, что требуется найти разность фаз амплитуды вероятности на плоскости симметрии и в точке x. Искомая разность фаз равна разности хода фотона по двум путям умноженной на волновое число:

б) При L>>x справедливо приближение , поэтому

3. Домашнее задание

3.2 Решение задач

Задача 1. Как изменяется со временем вероятность застать фотон в состоянии с энергией E? Как вы думаете, почему такие состояния называют стационарными?

Задача 2. Длина волны амплитуды вероятности распространяющегося фотона равна 400 нм. На какой угол повернуты относительно друг друга стрелки амплитуды вероятности в точках, отстоящих друг от друга на расстоянии 100 нм?

занятие 2.1.8

интерференция амплитуд вероятности

1.2 Контрольные вопросы

1.2.1 В чем отличие классических представлений о частицах и о волнах?

1.2.2 Как согласуются между собой представления о частицах и о волнах в квантовой физике?

1.2.3 В каких явлениях могут одновременно проявляться и корпускулярные и волновые свойства фотонов?

1.2.4 Что такое амплитуда вероятности?

1.2.5 Как, зная амплитуду вероятности, обнаружить физическую систему в каком либо состоянии, определить вероятность этого состояния?

1.2.6 Что собой представляет распределение амплитуд вероятности свободно распространяющегося фотона?

1.2.7 Как связана частота волны амплитуды вероятности застать физическую систему в состоянии с энергией E со значением энергии?

1.2.8 Как связана длина волны амплитуды вероятности с импульсом?

2. Волновые свойства частиц

2.1 Длина волны и частота электронов, протонов и прочих

Как показывает опыт, не только фотоны, но и все прочие частицы обладают волновыми свойствами. Точно так же, как и в случае фотонов состояние движения частицы описывается распределением амплитуд вероятности с теми же соотношениями между корпускулярными и волновыми характеристиками движения: энергией и импульсом, с одной стороны, и частотой и волновым числом — с другой. E=ћw, p=ћk. При этом оказывается, что в нерелятивистском случае между импульсом и энергией частиц справедливо классическое соотношение
(1)
где m масса частицы, а в релятивистском —
(2)

Задача 1. Чему равна длина волны амплитуды вероятности электрона с кинетической энергией E=1 эВ?

Задача 2. То, что состояние движения частицы описывается распределением амплитуд вероятности, является законом природы, применимым для любой частицы. Почему тогда никто никогда не наблюдал дифракцию на щели пылинок массой 10-6 г, центр масс которых движется со скоростью 1 см/с?

Решение. Импульс пылинок равен
p=m×v=10-11 кг×м/с, поэтому волновое число k центра масс —

Длина волны амплитуды вероятности, описывающей состояние движения центра масс пылинки, равна, примерно, 6.6×10-23 м. Ширина щели, при пропускании через которую пучка пылинок можно было бы ожидать различимые дифракционные максимумы, должна иметь этот же порядок величины, то есть быть столь малой, что в нее не только пылинка, даже протон или любая другая элементарная частица не пролезли бы. Это в некоторой степени объясняет, почему при движении макроскопических тел (пылинка, как бы малой она не была, является макроскопическим телом) не наблюдаются квантовые эффекты, родственные дифракции на отверстии.