Вынужденные колебания в консервативной нелинейной системе
Рис. 27. Семейство нормированных резонансных кривых для разных значений добротности Q0.
Рис. 28. Зависимость фазы напряжения на сопротивлении R от расстройки.
Исходя из операций с комплексными амплитудами, легко получить выражения для напряжений на всех элементах рассматриваемого колебательного контура. Для комплексной амплитуды напряжения на конденсаторе получаем
.
Соответственно, фаза напряжения на конденсаторе сдвинута относительно фазы напряжения на резисторе на —p/2. Резонанс напряжения на ёмкости получается при , т. е. при более низкой, чем w0 частоте w1.
Для комплексной амплитуды напряжения на индуктивности получаем
.
Фаза напряжения на индуктивности сдвинута относительно фазы напряжения на резисторе на p/2. Резонанс напряжения на индуктивности достигается при , т. е. на более высокой, чем w0 частоте w1. Нужно отметить, что для достаточно высокой добротности контура эта разница частот резонанса напряжений на резисторе, конденсаторе и индуктивности несущественна. Все три максимума совпадают только при Q0 ® ¥.
4.2. Вынужденные колебания в консервативной нелинейной системе при гармоническом силовом воздействии, гармонический баланс Вопрос 10
При воздействии гармонической силы на линейную систему в ней, как хорошо известно, возникает гармонический вынужденный процесс с частотой вынуждающей силы и с амплитудой, определяемой параметрами системы, частотой и внешней силой. В частности, при совпадении частоты воздействующей силы с частотой свободных колебаний системы (при w1 = w0) в ней, при отсутствии потерь (консервативная система), возбуждается бесконечно нарастающий вынужденный колебательный процесс, соответствующий наступлению резонанса. Однако, если по-прежнему рассматривать консервативную, но нелинейную систему, то вследствие возможной неизохронности при возникновении в ней колебаний условие резонанса с изменением амплитуды колебаний может измениться, и в этом случае мыслимо установление конечной амплитуды вынужденного колебания при любой частоте воздействия. К нелинейным системам неприменим метод комплексных амплитуд, поэтому анализ вынужденных колебаний в таких системах часто проводят методом гармонического баланса.
В общем случае консервативная нелинейная система второго порядка, находящаяся под силовым воздействием, описывается функцией
. |
(4.3) |
Будем считать, что нелинейность слабая, и в качестве основного приближения рассмотрим решение .
Рис. 29. Графическое определение амплитуды вынужденных колебаний в нелинейной системе. |
Рис. 30. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты воздействия в системе с "жёсткой" нелинейной возвращающей силой. |
Подставим решение в (4.3)
. |
(4.4) |
Если нелинейность не слишком велика, положим f(acos(w1t)) = f(a)cos(w1t). Так как (4.4) должно удовлетворяться при любых значениях аргументов, то необходимо потребовать, чтобы
. |
(4.5) |
Решение этого уравнения удобно получить графически (рис. 29). Строя заданную функцию z = —f(a) и прямую , мы в точке их пересечения получим искомое решение a, т. е. найдём амплитуду приближенного гармонического решения. Для разных P и w1, т. е. для различных амплитуд и частот воздействия, можно найти значение a и построить соответствующие кривые a(w1) для различных P, т. е. построить некоторый аналог резонансным кривым для резонанса в линейных системах.
Для f(а), имеющей характер, показанный на рис. 29, эти кривые a(w1) имеют вид, изображенный на рис. 30, где показаны три такие кривые, соответствующие трем значениям P(P1>P2>P3). При P = 0 получим кривую, изображенную штриховой линией; она соответствует собственной частоте свободных колебаний w изучаемой системы при различных амплитудах и называется скелетной кривой. Рассматривая характер полученных резонансных кривых, мы замечаем следующее: при частоте воздействия w1, меньшей частоты свободных колебаний w0, в системе всегда происходит однозначно определяемое колебательное движение с амплитудой, зависящей от величин P и w1. Когда в процессе своего изменения w1 становится больше w0, то, начиная со значения w1 > w0, в системе, кроме существовавшего ранее движения, оказываются возможными еще два колебательных процесса с различными амплитудами. При этом амплитуда исходного вынужденного процесса с ростом w1 продолжает расти (область А), амплитуды же двух вновь появившихся решений изменяются так, что одна из них растет с ростом w1 (область С), другая уменьшается (область В). Линия раздела этих областей показана на рис. 30 штрих-пунктирной кривой, и она проходит через точки амплитудных кривых с вертикальными касательными. Таким образом, если для заданной амплитуды P воздействующей силы ее частота w1 изменяется, начиная с малых значений до любых сколь угодно больших значений и обратно, мы получим однозначное решение, соответствующее одной из ветвей резонансной кривой в области А. Отметим, что колебания в областях А и В для одной и той же амплитуды внешней силы P отличаются друг от друга по фазе на p.
Если же рассматривать поведение амплитуды вынужденного движения, начиная с больших значений w1, то мы будем двигаться по ветви резонансной кривой в области В в сторону уменьшения w1 и роста a до той точки, где касательная к резонансной кривой станет вертикальной. Дальнейшее уменьшение w1 может сопровождаться лишь скачком амплитуды вынужденного колебания а на ветвь кривой в области А (показано стрелкой) и дальнейшим изменением а в соответствии с формой этой части резонансной кривой. Таким образом, мы не обнаружили естественного хода процесса, при котором система оказалась бы на ветви резонансной кривой в области С. Это согласуется с тем, что строгий анализ особенностей всех трёх типов решений показывает неустойчивость движений, соответствующих области С, в отношении любых сколь угодно малых вариаций параметров.
Правда, не следует придавать слишком большого значения сделанным выводам о вынужденных колебаниях при больших а и сильных уклонениях w1 от w0, так как в этих условиях действительное движение может значительно отличаться от гармонического и допущения, положенные в основу построения рассмотренной картины резонансных кривых, станут несправедливыми не говоря уже о расхождениях, связанных с заменой реальной системы консервативной.
Рассмотрим теперь ту же задачу приближенным аналитическим способом, методом гармонического баланса.
Для исследуемой системы, находящейся под гармоническим воздействием, используем уравнение (4.3). Задавшись гармоническим решением
, |
(4.6) |
получаем для P = 0
, |
(4.7) |
где f(acos(wt) + bsin(wt)) — периодическая функция с периодом 2p/w. Таким образом, её можно разложить в ряд Фурье
.
Оставляем только первую гармонику, тогда
.
Так как выражение должно выполняться для любого момента времени, то коэффициенты при cos(wt) и sin(wt) равны нулю, т. е. w2a = a1, w2b = b1.
Для свободных колебаний оба уравнения совершенно идентичны, так как, ввиду произвольности выбора начала отсчёта времени, значение x может быть с равным успехом выражено через cos(wt) или sin(wt) и их комбинацию. Коэффициенты a1 и b1 определяются из соотношений для нахождения коэффициентов ряда Фурье
(4.8) |
Отсюда частота собственных колебаний
,
где t = wt.
Для примера рассмотрим колебания в резонансном контуре. Напряжение на конденсаторе меняется по следующему закону u = q(1 + e q2)/C0. Выбирая в качестве обобщённой координаты x заряд на конденсаторе, получим
.
Примем начальные условия в виде b = 0, тогда
.
Выражение для неизохронной частоты приобретает вид
. |
(4.9) |
Найденное выражение для частоты свободных колебаний несколько отличается от выражения (2.15), полученного при использовании метода последовательных приближений для контура с нелинейной ёмкостью. Однако с точностью до членов с более высокими степенями 3/4 ea2 эти два выражения приводятся одно к другому, а различие, существенное при не слишком малых значениях ea2, связано с тем, что в методе последовательных приближений мы используем не чисто гармоническое решение, а учитываем наличие высших (например, третьей) гармонических составляющих.
Для конденсатора с квадратичной нелинейностью, характерной для варикапа, в уравнении (4.3) следует взять
.
В этом случае получится w = w0, так как метод гармонического баланса, как и метод ММА, является приближением первого порядка.
Возвращаясь к анализируемой задаче, рассмотрим теперь случай действия внешней силы на систему, т. е. P ¹ 0. Тогда, отыскивая решение с частотой внешней силы в нашем приближении, положим
(4.10) |
и введём обозначение w1t = t. Из (4.3) и (4.10) следует, что
.
Разлагая функцию — f(acost + bsint) в ряд Фурье, и пренебрегая по-прежнему в рамках гармонического баланса высшими гармониками фурье-разложения, получим уравнения
; . |
(4.11) |
Здесь, как и раньше a1 и b1 ищем по формулам (4.8). Используя эти соотношения, находим
. |
(4.12) |
Второе из этих уравнений может удовлетворяться только при b = 0, тогда из первого уравнения получаем
.
Здесь w(a) — частота свободных колебаний. Если эта зависимость известна, например, из формулы (4.9), можно найти зависимость a(w1, P) амплитуды вынужденных колебаний от частоты и амплитуды внешнего воздействия.
4.3. Генерация высших гармоник Вопрос 11
Явление, когда появляются высшие гармоники при гармоническом воздействии на нелинейную систему, называется генерацией гармоник.
Рассмотрим, например, колебания в нелинейной консервативной системе с конденсатором с сегнетоэлектриком при достаточно большой амплитуде гармонического воздействия, причём собственная частота малых свободных колебаний системы близка к утроенной частоте воздействия. Для конденсатора с сегнетоэлектриком
.
Уравнение (4.3) будет в этом случае иметь вид:
, где . |
(4.13) |
При большой нелинейности нельзя предполагать, что решение близко к гармоническому. Можно ожидать появления высших гармоник. Мы допустили, что есть третья гармоника, т. е. если w1 — частота внешнего воздействия, то w1 » w0/3. В этом случае можно ограничиться только первой и третьей гармониками и искать вынужденные колебания в виде
,
тогда получается
.
Оставляя в разложении f(q) в ряд Фурье только члены с cost и cos3t и приближенно положив — f(q) = a1cost + a3cos3t, получим систему двух уравнений
; . |
(4.14) |
Для выбранного вида нелинейности имеем
Рефераты по физике сдают здесьМГМИМО БГУ ГродноГу Другие статьиПохожая информацияУзнать стоимость за 15 минутРаспродажа дипломныхСкидка 30% по промокоду Diplom2020 Подпишись на наш паблик в ВКНужна работа?Заказать дипломную работу у наших партнеров |