Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях

09.1.0 Семинар. Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях. Электромагнитные волны. Излучение

Задача 09.1.1

Нерелятивистский протон mp массой и pe зарядом влетел в вакууме в полупространство с однородным магнитным полем по нормали к вектору B индукции этого магнитного поля и известным B модулем. Найти отношение потерянной ΔWк протоном кинетической энергии за время его движения в однородном магнитном поле к первоначальной Wк0 кинетической энергии этого протона.

Дано: B, mp, pe / ΔWк/ Wк0 = ?

O’X’Y’Z’ системой, которая является неинерциальной системой, и двигается с модулем an (1.26) из раздела 01.00 "Физические основы механики" вектора an нормального ускорения, имеющего следующий вид: an = vτ2/R м/с2, (1.1) где vτ — модуль вектора vτ линейной скорости (рис.01.0.5) из раздела 01.0.0. "Физические основы механики" движения подвижной O’X’Y’Z’ неинерциальной системы по окружности R радиусом относительно неподвижной OXYZ системы координат.

В подвижной O’X’Y’Z’ неинерциальной системе координат p протон неподвижен и на него помимо вектора Fq (7.37) из раздела 07.1.0 "Магнитостатика" силы Лоренца действует (рис. 09.1.1) вектор Fи инерциальной силы, направленный противоположно вектору an нормального (рис.01.0.5) из раздела 01.0.0. "Физические основы механики" ускорения, с которым подвижная O’X’Y’Z’ неинерциальная система координат двигается по окружности R радиусом относительно неподвижной OXYZ системы координат.

Проекция по II закону Ньютона всех сил, действующих на p протон массой mp в подвижной O’X’Y’Z’ неинерциальной системе координат на O’X’ ось, с учётом неподвижности этого p протона в этой подвижной O’X’Y’Z’ неинерциальной системе координат, а также с учётом проекции вектора Fq (7.37) из раздела 07.1.0 "Магнитостатика" силы Лоренца и вектора Fи инерциальной силы на O’X’ ось имеет следующий вид: O’X’: 0 = peBvτ — (mp vτ2/R) ↔ R = mpvτ /peB м. (1.2) Протон p по условию влетел по нормали в полупространство с однородным магнитным полем и совершает движение с модулем vτ вектора vτ линейной скорости согласно (1.2) по полуокружности R радиуса за τ время, имеющего следующее значение: τ = πR/vτ = πmp/peB с (1.3) Определяем с использованием (1.2) модуль an (1.1) вектора an нормального ускорения вращения p протона, имеющего следующее значение: an = vτ2/R = peBvτ/mp м/с2. (1.4) Мощность P излучения движущегося p протона с (1.4) модулем an вектора an ускорения, имеющего pe заряд, в данный t времени, согласно (9.96) раздела 09.0.0 "Электромагнитные волны" с учётом равенства относительной ε диэлектрической проницаемости вакуума единице, а также с учётом равенства в вакууме v фазовой скорости электромагнитной волны скорости c света в вакууме, выражение этой мощности P излучения движущегося p протона имеет следующий вид: P = pe 2an 2/6πε0с3 = pe4vτ2B2/6πε0c3mp2 кг·м2/с3(Вт). (1.5) Энергия ΔWк излучения или потерянная кинетическая энергия p протоном (1.3) за τ время с учётом его мощности (1.5) P излучения имеет следующий вид:

ΔWк = Pτ = pe3vτ2B/6ε0c3mp кг·м2/с2 (Дж). (1.6) Отношение потерянной (1.6) кинетической ΔWк энергии p протоном за τ время его движения в однородном магнитном поле к первоначальной Wк кинетической энергии этого p протона имеет следующий вид: ΔWк/ Wк0 = (pe3vτ2B)/[(6ε0c3mp)(mpvτ2/2)]= pe3B/3ε0c3mp2. (1.7)

Задача 09.1.2

Цилиндрический нерелятивистский протонный пучок радиуса r0 распространяется в свободном пространстве. Протоны пучка mp массой и pe зарядом летят параллельно, их кинетическая энергия равна Wkp, а концентрация равна n. Найти модуль S и направление вектора S Пойнтинга внутри и вне протонного пучка на r, r расстоянии от его оси.

l длиной, r1 радиусом (рис. 09.1.2) и V1 = πr1 2l объёмом этого воображаемого цилиндра, находящегося в нерелятивистском протонном пучке, охватывает движущиеся протоны, общий заряд qp1 которых с учётом их концентрации n и заряда pe одного протона имеет следующий вид:

qp1 = penV1 = penπr12l А·с, (2.3) где r1 ≤ r0.

Векторы E1′, E1» …. напряжённости электрического поля представляют собой цилиндрическое векторное поле и направлены перпендикулярно боковой поверхности воображаемого цилиндра r1 радиуса F1 = 2πr1l площадью, находящегося в нерелятивистском протонном пучке, т. е. направлены по радиальным силовым линиям напряжённости электрического поля, которые на рис. 09.1.2 изображены точками. Задача определения модуля E1 вектора E1 напряжённости электрического поля в нерелятивистском протонном пучке, т. е при r1 < r0 , аналогична (1.7) из 05.2.1 семинара "Проводники и диэлектрики в электрическом поле", в которой определяется модуль E вектора E напряжённости электростатического поля внутри цилиндрического конденсатора.

Различие с (1.7) из 05.2.1 семинара "Проводники и диэлектрики в электрическом поле" заключается в равенстве единице относительной диэлектрической ε проницаемости в нерелятивистском протонном пучке и в отличие общего заряда qp1 движущихся протонов, охватываемых воображаемым цилиндром l длиной и r1 радиусом (рис.09.1.2) с площадью боковой поверхности этого воображаемого цилиндра F1 = 2πr1l площадью, от погонного q0 заряда

(рис. 05.2.1) из 05.2.1 семинара "Проводники и диэлектрики в электрическом поле" на внутренней обкладке цилиндрического конденсатора.

Модуль E1 вектора E1 напряжённости электрического поля в нерелятивистском протонном пучке имеет с учётом (2.3) следующий вид: E1F1= qp1 /ε0 ↔ E12πr1l = penπr12l/ε0 ↔ E1 = penr1/2ε0 кг·м/А·с3 (В/м), (2.4) где r1 ≤ r0.

Замкнутая поверхность воображаемого цилиндра l длиной и r2 радиусом (рис. 09.1.2), находящаяся за пределами нерелятивистского протонного пучка, охватывает все движущиеся протоны в цилиндре r0 радиуса и объёмом V2 = πr02l этого воображаемого цилиндра, общий заряд qp2 которых с учётом их концентрации n и заряда pe одного протона имеет следующий вид:

qp2 = penV2 = penπr02l А·с. (2.5) Модуль E2 вектора E2 напряжённости электрического поля за пределами нерелятивистского протонного пучка по аналогии с (2.4) с учётом того, что общий заряд (2.5) qp2 движущихся за пределами этого нерелятивистского протонного пучка протонов охватывается (рис. 09.1.2) воображаемым цилиндром l длиной и r2 радиусом с F2 = 2πr2l площадью боковой поверхности этого воображаемого цилиндра, имеет следующий вид:

E2F2= qp2 /ε0 ↔ E22πr2l = penπr02l/ε0 ↔ E2 = penr02/2r2ε0 кг·м/А·с3 (В/м). (2.6) где r2 ≥ r0. Результирующий ток проводимости Iрез1силой (рис. 09.1.2) через основание воображаемого цилиндра с r1 радиусом и площадью N1 = πr12, находящегося в нерелятивистском протонном пучке, с учётом (2.2) модуля j вектора j плотности тока в этом цилиндрическом нерелятивистском протонном пучке имеет следующий вид: Iрез1 = jN1 = jπr1 2 = npe(2Wk /mp)1/2πr1 2 А, (2.7) где r1 ≤ r0. Векторы H1′, H1» … напряжённости поля магнитного поля представляют собой цилиндрическое векторное поле и направлены по касательной к силовым линиям напряжённости магнитного поля, которые имеют форму окружности r1 радиуса, L1 = 2πr1 длиной и изображены на

рис. рис. 09.1.2 чёрными линиями штрих с двумя точками. Задача определения модуля Н1 вектора H1 напряжённости магнитного поля в нерелятивистском протонном пучке, т. е при r1 < r0 аналогична (1.3) из 07.2.1 семинара "Постоянное магнитное поле", в которой определяется модуль H вектора напряжённости H магнитного поля в функции от радиуса r окружности, охватывающей кольцевую поверхность магнетика с внутренним R радиусом и внешним r радиусом. Различие с (1.3) из 07.2.1 семинара "Постоянное магнитное поле" заключается в равенстве единице относительной μ магнитной проницаемости в нерелятивистском протонном пучке и в отличие результирующего тока проводимости Iрез1 силой (рис. 09.1.2) через основание воображаемого цилиндра с r1 радиусом и площадью N1 = πr12, находящегося в нерелятивистском протонном пучке, от результирующего тока проводимости Iрез силой (1.2) из 07.2.1 семинара "Постоянное магнитное поле" через поверхность кольца с внутренним R радиусом и внешним r радиусом.

Модуль H1 вектора H1 напряжённости магнитного поля в нерелятивистском протонном пучке имеет с учётом (2.7) следующий вид:

H1L1 = Iрез1 ↔ H12πr1 = npe(2Wk /mp)1/2πr1 2↔ H1 = nper1(Wk /2mp)1/2 А/м, (2.8) где r1 ≤ r0. Результирующий ток проводимости Iрез2 силой (рис. 09.1.2) через основание воображаемого цилиндра с r2 радиусом и N2 = πr22 площадью, находящегося за пределами нерелятивистского протонного пучка и поэтому включающего все движущиеся протоны через основание цилиндра с r0 радиусом и N0 = πr02 площадью, с учётом (2.2) модуля j вектора j плотности тока в цилиндрическом нерелятивистском протонном пучке этот результирующий ток проводимости Iрез2 силой будет иметь следующий вид: Iрез2 = jN0 = jπr0 2 = npe(2Wk /mp)1/2πr0 2 А. (2.9) Модуль H2 вектора H2 напряжённости магнитного поля за пределами нерелятивистского протонного пучка по аналогии с (2.8) с учётом того, что силовые линии напряжённости магнитного поля, которые имеют форму окружности r2 радиуса, длиной L2 = 2πr2 и изображены на рис. 09.1.2 зелёными линиями штрих с двумя точками, охватывают (2.9) результирующий ток проводимости

Iрез2 силой, поэтому этот модуль H2 вектора H2 напряжённости магнитного поля имеет следующий вид: H2L2 = Iрез2 ↔ H22πr2 = npe(2Wk /mp)1/2πr0 2 ↔ H2 = npe r0 2(Wk /2mp)1/2πr2 А/м, (2.10) где r2 ≥ r0. Векторы E1, E2 …. напряжённости электрического поля (рис.6.2) внутри и за пределами нерелятивистского протонного пучка представляют собой цилиндрическое векторное поле и направлены по er орту радиальной полярной координаты.

Векторы H1, H2 … напряжённости поля магнитного поля (рис. 09.1.2) внутри и за пределами нерелятивистского протонного пучка представляют собой цилиндрическое векторное поле и направлены по eφ орту угловой полярной координаты.

Вектор S1 Пойнтинга (9.39) из раздела 09.0.0 "Электромагнитные волны" с учётом (2.4) модуля E1 вектора E1 напряжённости электрического поля, а также с учётом (2.8) модуля H1 вектора H1 напряжённости магнитного поля в нерелятивистском протонном пучке имеют следующий вид: S1 = [E1, H1] = [E1er, H1eφ] = [( penr1/2ε0)er, nper1(Wk /2mp)1/2eφ] = (penr1/2ε0)[nper1(Wk /2mp)1/2] ex = = [n2 pe 2 r1 2(2Wk /mp)1/2/4ε0]eY, (2.11) где eY — орт в цилиндрической системе координат, направленный по OY оси и составляющий с

er ортом радиальной полярной координаты, eφ ортом угловой полярной координаты правовинтовую систему, т. е. eY= [er, eφ]; r1 ≤ r0.

Модуль S1 вектора S1 Пойнтинга, направленного вдоль OY оси, в нерелятивистском протонном пучке согласно (2.11) имеет следующий вид:

S1 = n2 pe 2 r1 2(2Wk /mp)1/2/4ε0 кг/с3 (Вт/м2), (2.12) где r1 ≤ r0.

Вектор S2 Пойнтинга (9.39) из раздела 09.0.0 "Электромагнитные волны" с учётом (2.6) модуля E2 вектора E2 напряжённости электрического поля, а также с учётом (2.10) модуля H2 вектора H2 напряжённости магнитного поля за пределами нерелятивистского протонного пучка имеют следующий вид: S2 = [E2, H2] = [E2er, H2eφ] = [(penr02/2r2ε0 )er, npe r0 2(Wk/2mp)1/2πr2 eφ] = = (penr02/2r2ε0)[nper0 2(Wk /2mp)1/2πr2]ex = [n2pe 2r04(2Wk/mp)1/2/4ε0r22] eY, (2.13) где eY — орт в цилиндрической системе координат, направленный по OY оси и составляющий с er ортом радиальной полярной координаты, eφ ортом угловой полярной координаты правовинтовую систему, т. е. eY = [er, eφ]; r2 ≥ r0.

Модуль S2 вектора S2 Пойнтинга, направленного вдоль OY оси, за пределами нерелятивистского протонного пучка согласно (2.13) имеет следующий вид: S2 = n2pe 2r04(2Wk/mp)1/2/4ε0r22 кг/с3 (Вт/м2). (2.14)

где r2 ≥ r0.

Согласно (9.37) из раздела 09.0.0 "Электромагнитные волны" и выражениям (2.12), (2.14) с их размерностями модули S1, S2 вектора S1, S2 Пойнтинга равняются количеству энергии, переносимой в нерелятивистском протонном пучке и соответственно за его пределами через поверхность, перпендикулярную направлению распространения этого нерелятивистского протонного пучка и равную единичной площади, за единицу t времени.

Задача 09.1.3

В вакууме вдоль OY оси распространяются две плоские одинаково поляризованные бегущие электромагнитные волны, векторы E1, E2 напряжённости электрического поля которых изменяются по следующим уравнениям с гармоническими функциями: E1 = E0cos(ωt — ky) и E2 = E0cos(ωt — ky + φ), где E0 = kE0 — вектор амплитуды каждой из плоских бегущих электромагнитных волн, а k — орт декартовой системы координат по OZ оси; φ — начальная фаза колебаний вектора E2 напряжённости электрического поля второй электромагнитной волны.

Найти <S> среднее значение плотности потока энергии, переносимой электромагнитной волной, т. е среднее <S> значение S модуля вектора S Пойнтинга этой электромагнитной волны.

В плоскости площади F, ориентированной перпендикулярно, например, в y1 координате существуют одинаково направленные гармонические колебаний векторов E1, E2 напряжённости электрического поля электромагнитной волны. Результирующий вектор Eр колебаний напряжённости электрического поля по аналогии с (2.17) из раздела 02.0.0 "Колебания и волны" определится сложением двух одинаково направленных гармонических колебаний векторов

E1, E2 напряжённостей электрического поля электромагнитной волны. С учётом тригонометрического тождества результирующий вектор Eр колебаний напряжённости электрического поля двух одинаково направленных по k орту гармонических колебаний векторов

E1, E2 напряжённостей электрического поля электромагнитной волны имеет следующий вид:

Eр = E0 k[cos(ωt — ky1) + cos(ωt — ky1 + φ)] = 2E0 k {cos[2(ωt — ky1) + φ]/2}cos(φ/2), (3.1) где E0 = E0 = E0 — одинаковая амплитуда гармонических колебаний векторов E1, E2 напряжённости электрического поля первой и второй электромагнитной волны.

Вектор Hр результирующего колебания в y1 координате напряжённости магнитного поля согласно (9.24) из раздела 09.0.0 "Электромагнитные волны" направлен (рис. 09.1.3) вдоль OX оси и совпадает с направлением единичного i орта. С учётом (3.1) вектор Hр результирующего колебания в координате y1 напряжённости магнитного поля электромагнитной волны имеет следующий вид: Hр = H0 i[cos(ωt — ky1) + cos(ωt — ky1 + φ)] = 2H0 i{cos[2(ωt — ky1) + φ]/2}cos(φ/2), (3.2) где H0 = H0 = H0 — одинаковая амплитуда гармонических колебаний векторов H1, H2 напряжённости электрического поля первой и второй электромагнитной волны.

Согласно (9.29) из раздела 09.0.0 "Электромагнитные волны" отношение E0/H0 амплитуд колебаний векторов E0 напряжённостей (9.24) из раздела 09.0.0 "Электромагнитные волны" электрического поля вдоль OZ оси и H0 магнитного поля вдоль OX оси электромагнитной волны для вакуума имеет следующий вид: E0/H0 = (μ0/ε0)1/2 кг·м2/А2с2. (3.3) С учётом (9.10) из раздела 09.0.0 "Электромагнитные волны " равенства в вакууме v скорости электромагнитной волн скорости с = 1/(ε0 μ0)1/2 света выражение (3.3) для H0 амплитуды результирующего колебания вектора H0 (10.23) магнитного поля электромагнитной волны принимает следующий вид: H0 = ε0сE0 А/м . (3.4) С учётом направленности вектора Hр результирующего колебания напряжённости магнитного поля электромагнитной волны в y1 координате по OX оси с единичным i ортом, а также с учётом (3.4) выражение (3.2) вектора Hр результирующего колебания в y1 координате напряжённости магнитного поля электромагнитной волны принимает следующий вид: Hр = 2ε0сiE0 {cos[2(ωt — ky1) + φ]/2}cos(φ/2). (3.5) С учётом направленности вектора Eр результирующего колебания напряжённости электрического поля электромагнитной волны в y1 координате по OZ оси с единичным k ортом выражение (3.1) вектора Eр результирующего колебания в y1 координате напряжённости электрического поля электромагнитной волны принимает следующий вид: Eр = 2kE0 {cos[2(ωt — ky1) + φ]/2}cos(φ/2). (3.6) Вектор S Пойнтинга (9.39) из раздела 09.0.0 "Электромагнитные волны" для (3.6) вектора Eр результирующего колебания в y1 координате напряжённости электрического поля электромагнитной волны и (3.5) вектора Hр результирующего колебания в y1 координате напряжённости магнитного поля этой же электромагнитной волны (рис. 09.1.3) имеет следующий вид: S = [Eр,Hр] = 4ε0с[ik]E0 2{cos2 [2(ωt — ky1) + φ]/2}cos2 (φ/2). (3.7) С учётом равенства в (3.7) векторного [ik] произведения единичному j орту, направленному (рис. 09.1.3) из раздела 09.0.0 "Электромагнитные волны" вдоль OY оси, модуль S вектора S Пойнтинга (3.7) равняется количеству энергии, переносимой результирующей электромагнитной волной в направлении OY оси через поверхность F площадью, перпендикулярную направлению распространения этой результирующей электромагнитной волны, расположенную в y1 координате и равную единичной площади, за единицу t времени, и имеет следующий вид:

S = 4ε0сE0 2{cos2 [2(ωt — ky1) + φ]/2}cos2(φ/2) кг/с3 (Вт/м2). (3.8) Среднее <S> значение модуля S (3.8) вектора S Пойнтинга (рис. 09.1.3), т. е. среднее значение плотности потока энергии, переносимой результирующей электромагнитной волной в направлении OY оси через поверхность F площадью, перпендикулярную направлению распространения этой результирующей электромагнитной волны, расположенную в y1 координате и равную единичной площади, за Δt интервал времени, например (рис. 09.0.4) из раздела 09.0.0 "Электромагнитные волны", равный периоду T колебаний электромагнитной волны, определяется из следующего выражения: T <S> = 4ε0сE0 2cos2(φ/2) {∫ {cos2 [2(ωt — ky1) + φ]/2}dt}/T. (3.9) 0 В выражении (3.9) при вычислении интеграла применяется (9.24) из раздела 09.0.0 "Электромагнитные волны" соотношение ω=2π/T между ω циклической частотой и T периодом колебаний электромагнитной волны, вследствие чего значение этого интеграла принимает следующий вид:

T ∫ {cos2 [2(ωt — ky1) + φ]/2}dt}/T = 1/2. (3.10) 0 Подставляем (3.10) в (3.9) с учётом тригонометрического cos2(φ/2) = (1+ cosφ)/2 тождества и получаем следующее среднее <S> значение модуля S вектора S Пойнтинга, т. е. среднее значение плотности потока энергии, переносимого результирующей электромагнитной волной в направлении OY оси через поверхность F площадью, перпендикулярную направлению распространения этой результирующей электромагнитной волны, расположенную в y1 координате и равную единичной площади, за Δt интервал времени: <S> = ε0сE0 2(1+ cosφ) кг/с3 (Вт/м2). (3.11)

Задача 09.1.4

В вакууме вдоль OY оси установилась плоская стоячая электромагнитная волна, вектор

E напряжённости электрического поля которых изменяется по следующему уравнению

E = E0coskycosωt, где E0 = kE0 — вектор амплитуды напряжённости электрического поля стоячей электромагнитной волны, а k — орт декартовой системы координат по OZ оси. Изобразить примерный график распределения векторов E напряжённости электрического поля и H напряжённости магнитного поля стоячей электромагнитной волны в зависимости от y координаты в моменты t0 = 0,

t1 = T/4 времени. Найти H(y, t) уравнение, по которому изменяется вектор H напряжённости магнитного поля стоячей электромагнитной волны. Дано: E = E0coskycosωt/Примерный график = ? H(y, t) = ?

Результирующие E(y, t), H(y, t) уравнения, по которым изменяются векторы E напряжённости электрического поля, H индукции магнитного поля стоячей электромагнитной волны в сечении с

y координатой в произвольный момент t времени определяется (2.122) из раздела 02.0.0 "Колебания и волны" суперпозицией бегущих плоских электромагнитных волн в (2.69) из раздела 02.0.0 "Колебания и волны" положительную и (2.72) из раздела 02.0.0 "Колебания и волны" отрицательную стороны OY оси.

Проекции EZ+, HX+ на OZ, OX оси координат (9.24) из раздела 09.0.0 "Электромагнитные волны" соответственно векторов напряжённостей EZ+ электрического и HX+ магнитного поля, в зависимости от t времени и y координаты (рис. 09.1.4) бегущих плоских электромагнитных волн в (2.69) из раздела 02.0.0 "Колебания и волны" положительную сторону OY оси имеют следующий вид: EZ+ = (E0/2)cos(ωt — ky+ φ1) ↔ EZ+ = (E0/2)cos(ωt — ky); (4.1) HX+ = (H0/2)cos(ωt — ky+ φ2) ↔ HX+ = (H0/2)cos(ωt — ky), (4.2)

где φ1 = φ2 = 0 — начальные фазы колебаний векторов напряжённостей соответственно

EZ+ электрического поля вдоль OZ оси и HX+ магнитного поля вдоль OX оси бегущих плоских электромагнитных волн; ω — циклическая частота колебаний векторов напряжённостей

EZ+ электрического поля вдоль OZ оси и HX+ магнитного поля вдоль OX оси бегущих плоских электромагнитных волн; k = ω/c (2.70) из раздела 02.0.0 "Колебания и волны"- волновое число бегущих плоских электромагнитных волн; с — фазовая (9.10) из раздела 09.0.0 "Электромагнитные волны" скорость плоской бегущей электромагнитной волны в вакууме, которая равна с скорости света в вакууме; E0/2 и H0/2 — амплитуды колебаний бегущих плоских электромагнитных волн в положительную сторону OY оси векторов напряжённостей соответственно EZ+ электрического вдоль OZ оси и HX+ магнитного вдоль OX оси полей.