Четырехмерный вектор скорости частиц
Здесь мы приняли , т. к. точку можно поместить в начало координат.
2. Четырехмерный вектор скорости частиц. Определяется как
Откуда следует, что скалярное произведение
(1.7.8)
Окончательно получаем, что — временеподобный вектор.
3. Четырехмерный вектор ускорения. Определяется как
Вычислим :
(1.7.9)
Подставим это значение в выражение для ωμ:
(1.7.10)
Убедиться в пространственноподобности можно, если рассмотреть ωμ в состоянии покоя :
(1.7.11)
Можно показать, что четырехмерные вектора скорости vμ и ускорения ωμ взаимно ортогональны в четырехмерном пространстве:
. Покажем это. Продифференцируем скалярное произведение:
(1.7.12)
Откуда получаем, что .
§ 1.8. Четырехмерные тензоры
Все физические величины в специальной теории относительности по характеру преобразований при переходе из одной инерциальной системе отсчета к другой являются тензорами определенного ранга (нулевого, первого, второго,…).
Тензоры нулевого ранга – скалярные величины, которые при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой вообще не преобразуются. Иначе говоря, они являются инвариантами. К таким тензорам нулевого ранга относятся электрический заряд частицы, скорость света, собственное время, все скалярные величины четырехмерных векторов.
Тензоры первого ранга – все четырехмерные векторы.
Тензоры второго ранга определяется аналогично четырехмерным векторам:
(1.8.1)
Запишем тензор Tμν в общем виде:
Тензором ранга назовем совокупность чисел, преобразующихся по закону:
(1.8.2)
Дальше наибольшее применение получат тензоры второго ранга. Оказывается, что тензоры второго ранга могут быть симметричными и антисимметричными.
Оказывается, что любой тензор второго ранга можно представить в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров. Запишем произвольный тензор Тμν в виде:
(1.8.3)
где .
Особый интерес представляют антисимметричные тензоры. Они обладают свойством, что у них все диагональные элементы равны 0, т. е. .
Таким образом, произвольный антисимметричный тензор имеет вид:
(1.8.4)
Одним замечательным свойством тензоров такого рода является то, что если взять скалярное произведение антисимметричного тензора с двумя одинаковыми векторами, то оно будет равно нулю: . Докажем это:
(1.8.5)
Антисимметричные тензоры, как и все четырехмерные векторы могут быть пространственноподобными:
(1.8.6)
У всех антисимметричных тензоров между пространственноподобными компонентами существует связь: , где
— символ Леви-Чевита.
Обратное соотношение имеет вид: .
§ 1.9. Преобразование Лоренца для антисимметричного тензора
Как мы уже выяснили, любой антисимметричный тензор преобразуется по закону:
(1.9.1)
Вспомним, что
(1.9.2)
Распишем одну из компоненту антисимметричного тензора по правилу. Получим
Следовательно, , т. е. продольная компонента не преобразуется.
Проведя такие же вычисления для остальных компонент антисимметричного тензора, получим
(1.9.3)
Таким же образом получены
(1.9.4)
§ 1.10. Электромагнитные потенциалы и поля
Если в определении произвольного четырехмерного вектора за нулевую компоненту принять скалярный потенциал φ, а за векторную компоненту — трехмерный вектор-потенциал, то мы получим определение четырехмерного вектора-потенциала
. С помощью этого вектора можно определить тензор напряженностей электромагнитного поля:
. (1.10.1)