Применение метода мма к колебательным системам

Спектр ММА процесса будет

.

Здесь мы обозначили спектр комплексной огибающей колебания :

.

У нас и X, и q меняются медленно, тогда комплексная огибающая меняется медленно по сравнению с характерным временем 1/w0. Это значит, что t >> 1/w0, где t — характерное время изменения комплексной огибающей.

Dw << w0, является ММА процессом, но обратное не обязательно.

3.3. Применение метода ММА к колебательным системам Вопрос 8

Вернёмся к самому простому RLC резонансному контуру (рис. 22). Колебания в нём описываются следующим уравнением

.

Введём безразмерное время t = w0t; после дифференцирования по этой переменной, получим

Будем решать уравнение в форме (3.15), т. е. через амплитуду и фазу. В этом случае, с учётом (3.16), будет

.

Подставляя в укороченные уравнения (3.20) мы получаем

;

.

Эти укороченные уравнения легко интегрируются:

; .

Следовательно, колебательный процесс в контуре описывается функцией

или в размерном времени

Можно, конечно, искать решение уравнения (3.2) методом Лапласа в виде x(t) = X0ept, тогда характеристическое уравнение имеет вид

,

корни которого легко найти

,

т. е. общее решение можно записать так

Сравним теперь решения, полученные разными методами — методом ММА и общим методом Лапласа, т. е. (3.24) и (3.25). Как видно, амплитуда меняется одинаково, а частота определена неправильно: метод ММА говорит, что колебания будут с частотой w0, хотя точное решение даёт небольшой сдвиг частоты. Дело в том, что мы сами задаём с самого начала, что колебания будут с частотой w0 введением безразмерного времени, т. е. что заложили, то и получили. Мы можем, в принципе, задавать и произвольную частоту w.

Рассмотрим нелинейный контур с конденсатором с сегнетоэлектриком в пренебрежении затуханием (рис. 19). Запишем (2.20) вместе с (2.19):

.

Введём x = q/q0, где q0 — некоторый заряд, соответствующий ожидаемой максимальной амплитуде колебаний в контуре, тогда наше уравнение примет вид

, где .

Введём новый масштаб времени t = wt, где w не обязательно совпадает с w0. С учётом этой подстановки

.

Вводя обозначение , , получим

.

Учитывая, что мы ограничиваемся случаем |x| << 1 и g << 1 (частота колебаний мало отличается от частоты собственных колебаний), можно, отбрасывая член второго порядка малости, приближённо записать

.

Это уравнение принадлежит к типу , и к нему можно применить метод ММА. Используем вариант с медленно меняющимися амплитудами u и v (представление (3.13)), тогда укороченные уравнения, с учётом (3.9), будут иметь вид

;

.

Так как нет диссипации, то мы можем сказать, что . Это возможно в случае, если x = 0. Из этого следует, что w = w0, т. е. мы теряем неизохронность колебаний (аналогично было в методе последовательных приближений). Таким образом, метод ММА не позволяет найти сдвиг частоты в контуре с квадратичной нелинейностью. Это связано с тем, что метод ММА — метод первого порядка. Чтобы этого избежать, необходимо взять вторые гармоники ряда Фурье.

Рассмотрим колебательный контур с малым нелинейным затуханием, т. е. RLC контур (рис. 22). Рассмотрим колебания с постоянными L и C, но с сопротивлением R(i), зависящим от тока по закону R = R0(1 + g0i2). Это соотношение качественно передаёт зависимость омического сопротивления проводников от протекающего через них тока за счёт их нагрева.