Теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля

Теперь, подставляя в выражение поляризации,:

.

Запишем кратко:

Итак, для полярного диэлектрика в предположении независимых дипольных моментов, слабых полей и высоких температур диэлектрическая восприимчивость:

Изотропным называется диэлектрик, диэлектрическая восприимчивость которого представляет собой скаляр. Значит, в изотропных диэлектриках поляризация всегда направлена в одну сторону с напряжённостью. В анизотропных диэлектриках восприимчивость представляет собой тензор. Их рассмотрение выходит за пределы нашего курса.

§15.5. Теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля в диэлектрической среде

Если в поляризованной диэлектрической среде мысленно или реально провести плоскость разреза, непараллельную к направлению поляризации (рис.15.5), то с одной стороны на плоскости будет сосредоточено макроскопическое количество отрицательного, а с другой стороны − положительного заряда с поверхностной плотностью s . При этом объёмная плотность связанного заряда поляризованного диэлектрика везде будет равна 0.

Рис.15.5

Такое расположение поверхностных плотностей заряда обязательно получается, если следовать следующему правилу: все молекулярные диполи, пересекаемые плоскостью, в равных количествах делятся между «левым» и «правым» полупространствами. Дело в том, что нож, который разрезает диэлектрик, никогда не разрушает его молекулы, а только раздвигает их по разные стороны плоскости разреза. На макроскопической поверхности количество молекул, отодвинутых влево от неё, должно быть равно количеству отодвинутых вправо. Ситуация проясняется на рисунке 15.6, где изображены четыре молекулярных диполя около плоскости разреза.

Выделим в толще поляризованного диэлектрика косоугольный параллелепипед такой малый, что везде внутри него поляризацию можно считать постоянной (рис.15.7). При этом две его грани не параллельны вектору , а остальные четыре параллельны.

Рис.15.7

Из чертежа видно, что объём параллелепипеда . Дипольный момент элемента объёма dV равен:

С другой стороны, систему можно представить, как диполь с плечом и зарядом sS. Следовательно, дипольный момент параллелепипеда

.

Тогда имеем равенство:

.

Если равны векторы, то равны их модули, тогда

,

и отсюда получаем:

,

где a − угол между вектором поляризации и перпендикуляром к поверхности с данной поверхностной плотностью связанного заряда.

Если отсутствуют свободные заряды, то все силовые линии поверхностных зарядов боковых граней параллелепипеда будут начинаться на положительной грани и заканчиваться на отрицательной. При этом очевидно, что идти они будут параллельно линии поляризации. Это значит, что все силовые линии «не покидают» объём параллелепипеда, и заряды граней параллелепипеда не влияют на связанные заряды других областей. Но тогда и другие области не влияют на параллелепипед. Следовательно, напряжённость поля связанных зарядов внутри параллелепипеда создаётся поверхностными зарядами только этого параллелепипеда. И, поскольку силовые линии, начинаясь на грани +s, заканчиваются на грани , то поле направлено против вектора поляризации .

Рис.15.8

Поток , через гауссову поверхность, указанную на рисунке 15.8 пунктиром, равен , а по теореме ОГ он равен . Тогда получаем равенство:

Отсюда имеем с учётом направления:

.

Если есть свободные заряды, то напряжённость полного поля внутри диэлектрика по принципу суперпозиции равна

.

Для любой замкнутой поверхности внутри диэлектрика поток вектора напряженности имеет вид:

Следовательно,

.

Введём по определению вектор электрического смещения (электрической индукции) :

.

Тогда получаем одну из возможных формулировок теоремы ОГ в диэлектрике:

Поток вектора электрического смещения через замкнутую поверхность равен охваченному этой поверхностью свободному заряду.

Проведём подстановку в выражении электрического смещения:

.

Введём определение: 1+c=e − диэлектрическая проницаемость среды. Диэлектрическая проницаемость среды является безразмерной величиной. Поскольку, и в полярных, и в неполярных диэлектриках поляризация всегда направлена по вектору напряжённости, то диэлектрическая восприимчивость c>1. Следовательно, e всегда больше 1. Единственная «среда», в которой диэлектрическая проницаемость равна 1 − это вакуум.

Теперь связь между векторами и мы можем записать так:

,

и дать ещё одну формулировку теоремы ОГ в диэлектрике:

,

следовательно,

Поток вектора напряжённости электростатического поля через замкнутую поверхность в диэлектрической среде равен охваченному этой поверхностью свободному заряду, делённому на произведение электрической постоянной вакуума на диэлектрическую проницаемость среды.