Экзамен по уравнениям математической физики

ПРОГРАММА

экзамена по предмету

«Уравнения математической физики»

Уравнения в частных производных второго порядка, уравнения линейные относительно старших производных, квазилинейные и линейные. Формулы для преобразования уравнения к новым переменным. Выражение коэффициентов нового уравнения через коэффициенты старого. Леммы относительно уравнения с частными производными второго порядка. Характеристическое уравнение, характеристики, тип уравнения в точке. Уравнения гиперболического типа, первая и вторая каноническая форма гиперболического уравнения. Переход от одной канонической формы к другой. Уравнения параболического типа, каноническая форма таких уравнений. Уравнения эллиптического типа, каноническая форма таких уравнений. Вывод уравнения колебаний струны. Начальные и граничные условия для задачи колебаний. Задача Коши. Формула Даламбера. Физическая интерпретация формулы Даламбера. Геометрическое изображение распространения колебаний. Решение задачи для полуограниченной струны. Метод отражений. Метод разделения переменных для уравнения колебаний. Решение уравнения в виде ряда Фурье. Физическая интерпретация гармоник. Основные тоны и обертоны. Вывод уравнения распространения тепла в стержне. Постановка краевых задач для уравнения теплопроводности. Принцип максимального значения. Вывод из принципа максимального значения теорем о единственности и непрерывной зависимости решения первой краевой задачи для уравнения теплопроводности. Теорема единственности для бесконечной прямой. Метод разделения переменных для решения первой краевой задачи для уравнения теплопроводности с нулевыми граничными условиями. Функция источника. Решение неоднородного уравнения теплопроводности. Решение общей первой краевой задачи для уравнения теплопроводности. Решение уравнения теплопроводности для бесконечной прямой. Решение уравнения теплопроводности без начальных условий. Задачи, приводящие к уравнению Лапласа. Фундаментальное решение уравнения Лапласа в пространстве и на плоскости. Гармонические функции и аналитические функции комплексного переменного. Формула Остроградского, вывод из неё первой и второй формулы Грина. Первое и второе основное свойство гармонических функций. Принцип максимума для гармонических функций. Единственность и устойчивость первой краевой задачи для уравнения Лапласа. Внешняя краевая задача в пространстве и на плоскости. Внутренняя краевая задача. Метод разделения переменных для решения первой краевой задачи для круга.