Эвольвентное зацепление

Для инвалютных функций составлены таблицы, по которым по значению угла αY можно определить значение величины invαY. Таким образом, угол θY будет равен

Θy = invαy (76)

Из треугольника NYO радиус-вектор rY

(77)

Уравнения (8.8) и (8.9) есть уравнения эвольвенты в полярных координатах.

6.5. Эвольвентное зацепление

Пусть вращательное движения передаётся при помощи двух звеньев, профили которых выполнены по кривым Э1 и Э2, являющиеся эвольвентами основных окружностей радиусов rb1 и rb2 (рис. 55). На основании основного закона зацепления и основного свойства эвольвенты можно показать, что передаточное отношение этой передачи постоянно. Действительно, общая касательная n – n к основным окружностям нормальна к каждой из эвольвент (на основании основного свойства эвольвенты) и поэтому проходит всегда через точку их касания. Прямая n – n, являясь общей нормалью в точке касания к обеим эвольвентам, делит межосевое расстояние О1О2 на отрезки, обратно пропорциональные угловым скоростям (на основании основного закона зацепления):

.

Так как прямая n – n всегда касается одних и тех же окружностей, то и занимает всегда одно и то же положение, т. е. пересекает межосевое расстояние в постоянной точке Р, которая называется полюсом зацепления. Следовательно, передаточное отношение

Окружности, радиусы которых rw1= OP1 и rw2= O2P, жёстко связанные с зубчатыми колёсами, и между которыми осуществляется передача вращательного движения со строго постоянным передаточным отношением, касающиеся и перекатывающиеся одна по другой без скольжения, называются начальными. Таким образом, отношение угловых скоростей обратно пропорционально отношению радиусов начальных окружностей:

(78)

Геометрическое место точек касания профилей (зубьев) называется линией зацепления. Только в эвольвентном зацеплении линией зацепления является прямая n – n – касательная к основным окружностям, так как эвольвенты касаются только в точках этой прямой. В этом заключается одно из достоинств эвольвентного зацепления. Действительно, зуб одного колеса давит на зуб другого колеса, если пренебречь трением, всегда по линии n – n. Поэтому направление силы не изменяется, что положительно сказывается на прочности конструкции зубчатого механизма.

Угол αw отклонения линии зацепления от общей касательной t – t к начальным окружностям в полюсе Р называется углом зацепления. Угол профиля α в точке эвольвенты, лежащей на начальной окружности, численно равен углу зацепления αw.

В эвольвентном зацеплении при изменении межосевого расстояния О1О2 передаточное отношение не изменяется. Действительно, из подобия треугольников O1N1P и O2N2P следует

, (79)

т. е. передаточное отношение обратно пропорционально радиусам основных окружностей. Так как эти радиусы являются постоянными для эвольвентных профилей зубьев, то при изменении межосевого расстояния О1О2 передаточное отношение не изменится. Несколько изменится лишь положение линии зацепления, т. е. угол зацепления αw.

Постоянство передаточного отношения при изменении межосевого расстояния является положительным качеством эвольвентной зубчатой передачи, так как неизбежные погрешности при сборке зубчатых механизмов не будут оказывать влияние на передаточное отношение.

Все геометрические параметры зубчатых колёс определяются через модуль. Угол профиля рейки принят равным 20°. Размер c (рис. 56) обеспечивает у колёс, нарезанных инструментальной рейкой, наличие радиального зазора в зубчатом зацеплении. Обычно c = 0.25m. Окружность колеса, по которой шаг равен р, называют делительной.

Её диаметр обозначают через d. Так как πd = pz = πmz, (z – число зубьев колеса), то

d = mz . (80)

При нарезании зубчатого колеса возможно смещение инструментальной рейки относительно нарезаемого колеса. Смещение, направленное от оси нарезаемого колеса, называют положительным, (нарезанное таким способом колесо называется положительным) а смещение к его оси – отрицательным (колесо в этом случае называется отрицательным). Если смещение равно нулю (колесо нулевое), то начальная прямая рейки совпадает с делительной прямой рейки. Коэффициент смещения рейки обозначается через x. Смещение рейки равно xm. При положительном смещении инструмента толщина зуба у основания увеличивается, что повышает его прочность. Кроме того, смещение инструмента в ту или иную сторону позволяет строго вписаться в заданное межосевое расстояние.

6.6. Геометрические параметры эвольвентных прямозубых передач

За базу для определения элементов и размеров зубьев колёс принимается делительная окружность, являющаяся параметром станочного зацепления при изготовлении колёс методом обкатки. Диаметр этой окружности определяется по формуле (80). Определим основные размеры колеса (рис. 57).

Делительная окружность делит зуб по высоте на две части: на головку зуба высотой

(81)

и ножку зуба высотой

, (82)

где – коэффициенты высоты соответственно головки и ножки зуба (для колёс, нарезанных без смещения стандартным инструментом , а ).

В обозначениях, касающихся зубчатых передач, принято ставить индексы: а – для параметров, касающихся головок зуба; f – для параметров ножек зуба; w – для параметров, связанных с начальной окружностью; в – для параметров, связанных с основной окружностью. В обозначениях параметров, связанных с делительной окружностью, индексы не ставятся.

Полная высота зуба

. (83)

Для колёс, нарезанных без смещения инструментальной рейки h=2,25m. Высота головки зуба делается меньше высоты ножки зуба, для того чтобы вершина зуба одного колеса не упиралась в основание впадины другого колеса, т. е. чтобы обеспечить радиальный зазор, который равен c = hf – ha = 0,25m.

Диаметры окружностей вершин и впадин зубьев рассчитываются соответственно по формулам: