Кинематика теории относительности

Аналогично проведенному решению из факта инвариантности интервала можно получить преобразование длин.

3. Решение задач

Задача 4. Пусть вдоль проводника с током, на некотором расстоянии r от оси в том же направлении, что и электроны проводимости провода, летит электрон. Полный заряд провода равен нулю, т. к. положительные заряды ионов точно компенсируются зарядами электронов проводимости. Движущийся со скоростью v электрон испытывает действие силы Лоренца
. (13)
Положим, что скорости наружного электрона и электронов проводимости равны. Найдите силу взаимодействия электрона с проводом в системе отсчета, в которой электрон покоится.

Задача 5. Положим, что скорость самолета равна 1000 км/час. Оцените, на сколько задерживается старение пассажира, совершающего поездку Красноярск — Москва. Полагайте, что расстояние между Красноярском и Москвой равно 4000 км.

Задача 6. В лабораторной системе отсчета частицы движутся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями v. При каких значениях v вычисление относительной скорости с помощью принципа Галилея дает ошибку, не превышающую 1%?

Задача 7. Возьмем шест длиной 20 м и будем двигать его в направлении его длины с такой скоростью, при которой его длина в лабораторной системе отсчета оказалась равной 10 м. Тогда в некоторый момент времени он целиком может спрятаться в сарае длиной 10 м. Но из системы отсчета, в которой шест покоится, наполовину сократившимся, является не шест, а сарай. Ясно, что 20-метровый шест невозможно спрятать в 5-метровом сарае. Имеет ли место противоречие в описанной ситуации? Используя преобразования Лоренца, покажите, как без противоречий должна рассматриваться данная ситуация.

Решение. Анализ ситуации полезно провести, используя преобразования Лоренца, рассматривая события: совмещение переднего конца шеста с задней стенкой сарая и совмещение заднего конца шеста со входом в сарай, с двух точек зрения — с позиций наблюдателя из системы отсчета, связанной с сараем и из системы отсчета, связанной с шестом.

Пусть собственная длина шеста равна L, тогда длина сарая — L/2. Чтобы длина шеста из системы отсчета, связанной с сараем, оказалась равной L/2, шест должен двигаться со скоростью . Поместим начала координат обеих систем отсчета в точку соприкосновения переднего конца шеста и задней стенки сарая и будем считать момент соприкосновения начальным моментом времени в обеих системах отсчета t1=t`1=0. Рассмотрим два события: первое событие — “передний конец шеста совместился с задней стенкой сарая (оказался в начале координат)”; второе событие — “задний конец шеста совместился со входом в сарай”. Координаты первого события в обеих системах отсчета одинаковы и равны: x1=x`1=0, t1=t`1=0. Координаты второго события естественнее определить в системе отсчета, связанной с сараем, так как в этой системе отсчета и первое и второе события происходят одновременно.
t2=0. (9) Определим, координаты входа в сарай в системе отсчета, связанной с шестом.
(10) Как видно, совмещение заднего конца шеста со входом в сарай происходит не одновременно с совмещением переднего конца. Легко определить, что за время t`2 от момента совпадения переднего конца шеста с задней стенкой сарай переместился на расстояние Так что координата входа в сарай в момент времени t`2=0 равна . Это согласуется с точкой зрения наблюдателя из системы отсчета, связанной с шестом, согласно которой, длина сарая уменьшается до . Но при этом мы должны иметь в виду, что совмещение заднего конца шеста и входа в сарай в обеих системах отсчета является одним и тем же событием. Отличие точек зрения состоит в том, что совмещения обоих концов шеста в одной системе отсчета являются одновременными, а в другой — те же самые события неодновременные. То есть, в условии задачи речь идет не об одной и той же паре событий.