Колебания в распределённых системах

Тема 9. Колебания в распределённых системах.

Колебательный процесс в системе с сосредоточенными параметрами, в которой потенциальная и кинетическая энергии запасаются в различных эле­ментах, описывается обыкновенными ДУ. В системах же с распределёнными параметрами любой, сколь угодно малый, эле­мент запасает как кинетическую, так и потенциальную энергию. Примеры — ма­ятник и струна, LC-контур и волновод. Колебания в таких системах описыва­ются ДУ в частных производных.

Система может считаться системой с сосредоточенными параметрами, если её геометрические размеры много меньше длины волны колебания. Если же они сравнимы, то это — система с распределёнными параметрами, в которой условие квазистационарности принципиально не выполняется. Если размеры системы много больше длины волны, то для анализа процессов используется волновая трактовка Даламбера (полное движение представляет собой сумму бегущих в обе стороны волн). В рамках же данного курса нас будут интересо­вать системы, размеры которых порядка длины волны и к которым применима колебательная трактовка Бернулли, рассматривающая любой процесс как сум­му собственных колебаний системы (стоячих волн).

9.1. Телеграфные уравнения, волновое уравнение

линии dx (рис. 79) мож­но ввести понятия потенциала, тока, распределенных ёмкостей и индуктивностей. Если система не излучает и не взаимодействует с другими проводниками, то в каждом сечении линии токи в обоих проводниках равны по величине и противоположны по направлению: i1(x, t) = —i2(x, t) = i(x, t).

Рассмотрим бесконечно малый элемент dx длины линии, обладающей индуктивностью L и ёмкостью C на единицу длины линии. Для участка dx линии можно записать уравнения Кирхгофа:

, ,

откуда легко получаются телеграфные уравнения:

Из уравнений (9.1) легко получаются и волновые уравнения для тока и напряжения:

где

Волновое уравнение можно получить также, если рассматривать, например, распределённую электрическую систему как предельный случай одномерной цепочки, составленной из сосредоточенных индуктивностей и емкостей. Если увеличивать число ячеек на единицу длины цепочки, сохраняя постоянной общую индуктивность и ёмкость, то в пределе система уравнений для цепочки (8.32) перейдёт в волновое уравнение (9.2). Координата x соответствует изменяющемуся номеру ячейки.

Частным решением волнового уравнения (9.2) являются любые функции вида

, ,

соответственно полное решение имеет вид:

Первое слагаемое описывает волну, которая распространяется, не меняя своей формы, в направлении возрастания x, а второе — волну, распространяющуюся с той же скоростью в сторону убывания x. Для процессов, синусоидальных во времени, решение (9.4) принимает форму

.

Здесь величина w(t ± x/v) называется фазой волны, а величина k = w/v — волновым числом. Волновое число характеризует пространственную периодичность волнового процесса, т. е. y(x + nl, t) = y(x, t), и связана с длиной волны соотношением: k = 2p/l.

Для токов и напряжений в линии решение уравнения (9.4) имеет вид:

Подставляя эти выражения в телеграфное уравнение (9.1), получим связь между коэффициентами:

, ,

где — волновое сопротивление линии. Учитывая связь между коэффициентами, перепишем (9.5) в виде

Погонные индуктивность и ёмкость линии определяются её геометрией. Для двухпроводной линии в системе СГС получаем

где r — радиус проводов, b — расстояние между ними.

Учитывая два последних соотношения, получим для волнового сопротивления следующее выражение:

[Ом].

Для коаксиальной линии имеем

[Ом],

где D и d — диаметры внешнего и внутреннего проводников.

Подставляя погонные L и C в (9.3), получим, что фазовая скорость волны в линии равна

Для двухпроводной линии с погонным сопротивлением проводников R и погонной утечкой G между ними телеграфные уравнения (9.1) принимают вид: