Методичка по решению задач по статике

Б2.В.2 ОПД. Ф.02.01 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

МЕТОДИЧЕСКОЕ УКАЗАНИЕ

по решению задач по статике

Направление подготовки бакалавра 110800 Агроинженерия

Профили:

Технические системы в агробизнесе;

Технический сервис в агропромышленном комплексе;

Электрооборудование и электротехнологии.

Направление подготовки бакалавра 140100 Теплотехника и теплоэнергетика

Профиль

Энергообеспечение предприятий

УФА 2011

УДК 539.3

ББК 30.121

Рекомендовано к изданию методической комиссией факультета механизации сельского хозяйства (протокол № 11 от 25.05.2011 г.)

Ответственный за выпуск: заведующий кафедрой “Теоретическая и прикладная механика”, к. т.н. доцент Масалимов И. Х.

1 Настоящая методическая разработка содержит указания по решению задачи по статике на равновесие тела под действием произвольной плоской системы сил. Условия задачи даны в задачнике /1/.

2 Прежде чем приступить к решению задачи, необходимо изучить теоретический материал в §§ 3, 5, 13, 16, 18 /2/. Разберите также примеры, приведенные в §17. Обратите внимание на определение равнодействующей распределенной системы сил в §21 /2/.

3 Вопросы для самоконтроля.

3.1 Что называется связью, реакцией связи?

3.2 Какие связи называются внутренними?

3.3 Что называется интенсивностью распределенной нагрузки?

3.4 Как определяется положение точки приложения равнодействующей распределенной нагрузки?

3.5 В чем смысл применения третьего закона Ньютона при рассмотрения составных конструкций?

3.6 Как определяется момент равнодействующей силы относительно любой точки по теореме Вариньона?

4 Указания к решению задачи.

Задача заключается в анализе равновесия системе двух тел под действием плоской системы сил. При ее решении можно рассмотреть сначала равновесие всей системы в целом, а затем равновесие одного из тел системы, изобразив его отдельно и заменив действие другого тела его реакциями. Чаше, однако, сразу расчленяют систему и рассматривают равновесие каждого из тел в отдельности, применяя при этом закон о равенстве действия и противодействия.

5 Указания по использованию ЭВМ

В задачах требуется найти точку приложения и направления силы 2 на указанном в таблице участке составной конструкции, при котором указанная составляющая реакция связи в точке В имеет максимальное или минимальное значение. Задачи оптимизации требуют многовариантных расчетов с использованием ЭВМ. Общая методика при этом следующая. Из аналитических уравнений равновесия составляются выражения для указанной в условиях составляющей реакции связи в точке В в зависимости от значений z и направляющего угла β или γ. Определение экстремальных значений этих параметров производится с применением ЭВМ. При расчетах значение z и β(γ) рекомендуется изменять с шагами 0,01 м и 1º соответственно. Из множества вариантов машина выделяет тот, при котором составляющая реакции связи имеет максимальное (минимальное) значение.

6. Пример 1

6.1 Найти точку приложения и направления силы 2 на участке АВ составной конструкции (рисунок 6.1), при которых реактивный момент заделки в точке В имеет минимальное значение.

При найденных значениях z и направляющего угла γ определить реакции опор и усилие в промежуточном шарнире С.

Дано:

6.2 Решение

Действие равномерно распределенной нагрузки интенсивности q заменяем равнодействующей

Рисунок 6.1 Составная конструкция

Рисунок 6.2 Рисунок 6.3

Равновесие левой части Равновесие правой части

Равнодействующую Q прикладываем к точке S – центр тяжести дуги окружности.

Плечо равнодействующей относительно шарнира С равно

Рассмотрим равновесие части АС составной конструкции. Заменим действие опоры А реакцией (рисунок 6.2), реакцию цилиндрического шарнира С показываем двумя составляющими — и .

Аналитические условия равновесия произвольной плоской системы сил:

ΣX=0, ΣY=0, ΣmA=0.

В развернутом виде:

ΣX=F2·cosγ-XC=0, (1)

ΣY=YA+ F2·sinγ-Q+YC=0, (2)

ΣmA=- F2·cosγ·z+ F2·sinγ·(R-)-M-Q·(R-d)+XC·R+YC·R=0. (3)

Рассмотрим равновесие части ВС конструкции (рисунок 6.3). действие в заделки точки В заменим составляющими и и реактивным моментом МВ. Учитывая закон равновесия действия и противодействия, составляющие и направим в стороны, противоположные направлениям на рисунке 6.1.

Общее условие равновесия:

ΣX=0, ΣY=0, ΣmВ=0.

ΣX=XC-XB-F1·sinα=0, (4)

ΣY=YB — YC — F1·cosα =0, (5)

ΣmB=-XC·R+YC·a+F1·cosα-MB=0. (6)

Из уравнения равновесия (1-6) находим:

XC= F2·cosγ, (7)

YC=(F2·cosγ·z-F2·sinγ·(R-)+M+Q·(R-d)-XC·R)/R, (8)

YA= — F2·sinγ+Q-YC, (9)

XB=XC-F1·sinα, (10)

YB =YC+ F1·cosα, (11)

MB= — XC·R+YC·a+F1·cosα. (12)

Таким образом, пользуясь формулами (7), (8) и (12), можно определить реактивный момент заделки МВ в зависимости от параметров z и γ. Составим программу для оптимизации на алгоритмическом языке «Паскаль».

program statica

var q, OS, d,z, mbmin, zmin, tmin, xc, yc,

xb, yb, mb:real;

i, t:integer;

const a=0,4;r=0,5;v=60;u=30;m=200;f1=300;

f2=400;g1=500;

begin

mbmin:=10000;

q:=q1*r*u*pi/180;

OS:=r*sin(u*pi/360)/(u*pi/360);

d:=r*sin(u*pi/360);

for t:=0 to 360 do

begin

for i:=0 to trunc(r/0,01) do

begin

z:=i*0,01;

xc:=f2*cos(t*pi/180);

yc:=(f2*cos(t*pi/180)*z-f2*(r-sqrt(r*r —

-z*x))*sin(t*pi/180)+m+q*(r-d)-xc*r)/r;

mb:=f1*a*cos(v*pi/180)+yc*a-xc*r;

if abs(mb)<abs(mbmin) then

begin

mbmin:=mb;zmin:=z;tmin:=t;

end;

end;

end;

writeln(‘mbmin’,’=’,mbmin:3:3);

writeln(‘zbmin’,’=’,zbmin:3:3);

writeln(‘tbmin’,’=’,tbmin:3:3);

end.

Примечание. В программе начальное значение МВmin принято произвольно 10000 (заведомо больше, чем действительное).

Угол α обозначен v, угол β-u,γ-t.

В результате вычислений на ЭВМ получены следующие результаты:

МВmin=-0,020Н·м при z=0,230м и γ=338°

По формулам (7-11) производим подсчеты остальных реакций связей:

Действительное направление вектора противоположно показанному на чертеже.

7 Пример 2.

7.1 Найти точку приложения и направление силы на участке ЕF составной конструкции (рисунок 7.1), при которой реакция опоры В имеет наибольшее значение.

Дано: a=0,4м, ℓ1=0,3м, ℓ2= 0,6м, ℓ3= 0,7м, ℓ4= 0,7м, ,

7.2 Решение

Равнодействующая равномерно распределённой нагрузки равна

Q= ℓ1

Расчленим систему по шарниру С и рассмотрим равновесие балки СD

(рис.7.2). Реакция перпендикулярна опорной поверхности подвижной опоры D, реакцию цилиндрического шарнира С показываем двумя составляющими и .

Аналитические условия равновесия плоской системы сил записываются:

(13)

(14)

(15)

Рисунок 7.1 Составная конструкция

Рисунок 7.2 Равновесие правой части

Рисунок 7.3 Равновесие левой части

Рассматриваем равновесие оставшейся части составной конструкции (рисунок 7.3). Показываем на чертеже реакцию подвижной опоры В и составляющие и реакции в шарнире С показываем в стороны, противоположные направлениям на рисунок 7.2.

Условия равновесия будут иметь вид:

ΣX= (16)

(17)

=

(18)

Из уравнений равновесия (1-6) находим:

, (7)

, (8)

, (9)

(10)

(11)

(12)

Пользуясь последовательно формулами (7), (8), (9) и (11), можно найти реакцию максимальное значение которой необходимо определить.

Составляем программу на алгоритмическом языке “БЕЙСИК”.

1 INPUT F1, F2, m, 1

2 INPUT , L1, L2, L3, L4

3 INPUT V.

4 INPUT 3.1416*V/18

5 2=1*L1

6 =

7 FOR t= to 2*3.1416 step 3.1416/180

8 FOR Z= to L2 step .

9 XC=F1*cos (S)

10 YB=(m+F1*sin(S)*(L3-))/L3

11 YC=F1*sin (S)-YD

12 (XC*L4+YC*L2+F2*cos(t)*L1+F2*sin(t)*(L2-Z)+ 2*(L1/2)/L2+L3

13 IF ABC (YB)=d THEN GOTO15

14 d= YB:e=t*57.325:=Z

15 NEXTZ

16 NEXTt

17PRINT d; e;

Примечание к программе. Максимальное значение обозначено d и. в начале, принято равным нулю. Экстремальные значения z и обозначены соответственно е и .

Получаем: = 221,6H при = и Z=0.

8 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Курс теоретической механики : учебник для вузов / А. А. Яблонский, В. М. Никифорова. – М.: Кнорус, 2010. — 597 с.

2. Бутенин, Н. В. Курс теоретической механики [Текст] : в 2 т. : учеб. пособие для студ. вузов, обуч. по техн. спец. / Н. В. Бутенин, Я. Л. Лунц, Д. Р. Меркин. — Изд. 9-е, стер. — СПб. ; М. ; Краснодар : Лань, 2007. — (Учебники для вузов. Специальная литература) Т. 1 : Статика и кинематика, Т. 2 : Динамика. – 2007. – 239 с

3. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике [Текст] : учеб. пособие для студ. вузов : допущено М-вом высшего и среднего специального образования СССР / [А. А. Яблонский и др.]; под общ. ред. А. А. Яблонского. — 17-е изд., стер. — М. : Кнорус,2010. – 382 с.

Конспект лекций по теоретической механике