Методы математической физики

Методы математической физики. ЭК-51. 2012-13 уч. г.

1.  Классификация уравнений с частными производными. Порядок уравнения. Классическое (регулярное) решение уравнения. Линейные уравнения. Квазилинейные уравнения. Однородное и неоднородное уравнения. Линейный дифференциальный оператор порядка m.

2.  Дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка. Решение уравнения первого порядка. Интегральная поверхность. Система уравнений характеристик для уравнения с частными производными. Параметрическая и симметричная формы. Задача Коши.

3.  Классификация линейных уравнений с частными производными второго порядка. Характеристическая форма. Канонический вид характеристической формы. Уравнения гиперболического, параболического, эллиптического типов.

4.  Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными. Дискриминант уравнения. Уравнение характеристик. Уравнения гиперболического, параболического, эллиптического типов. Метод характеристик.

5.  Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными второго порядка с n (n > 2) независимыми переменным.

6.  Математическое описание процессов, изучаемых методами математической физики. Вывод уравнений и постановка краевых задач. Уравнение для температуры однородного изотропного стержня длины l с постоянным поперечным сечением.

7.  Математическое описание процессов, изучаемых методами математической физики. Вывод уравнений и постановка краевых задач. Уравнение малых поперечных колебаний закрепленной на концах натянутой однородной струны.

8.  Постановка краевых задач. Классификация основных уравнений математической физики. Классификация краевых задач.

9.  Аналитические методы решения краевых задач математической физики. Сведение неоднородной задачи к однородной. Пример.

10.  Аналитические методы решения краевых задач математической физики. Вывод формулы Даламбера для волнового уравнения.

11.  Аналитические методы решения краевых задач математической физики. Метод продолжения для волнового уравнения.

12.  Аналитические методы решения краевых задач математической физики. Формула Даламбера для волнового уравнения. Неограниченная струна возбуждена локальным начальным отклонением.

13.  Аналитические методы решения краевых задач математической физики. Формула Даламбера для волнового уравнения. Неограниченной струне сообщена на отрезке ‑ c ≤ x ≤ c поперечная начальная скорость v0 = const; вне этого отрезка начальная скорость равна 0.

14.  Задача Штурма-Лиувилля. Свойства собственных функций.

15.  Метод разделения переменных (Метод Фурье).

16.  Метод интегральных преобразований. Определения.

17.  Метод интегральных преобразований. Преобразование Фурье.

18.  Метод интегральных преобразований. C помощью интегрального преобразования Фурье решить краевую задачу (пример).

19.  Задача Коши для уравнения параболического типа. Формула Пуассона.

20.  Уравнение Лапласа. Граничные условия.

21.  Уравнение Лапласа. Потенциальное течение жидкости. Потенциал стационарного тока и электростатического поля.

22.  Уравнение Лапласа. В цилиндрических и сферических координатах. Решения.

23.  Гармонические функции и аналитические функции комплексного переменного.

24.  Преобразование обратных радиус-векторов.

25.  Формулы Грина. Интегральное представление решения.

26.  Основные свойства гармонических функций.

27.  Единственность и устойчивость первой краевой задачи.

28.  Первая краевая задача для круга.

29.  Формула Пуассона.