Перемещения при изгибе

, откуда . (4.9)

Величина EJx называется жёсткостью балки при изгибе, она характеризует способность конкретной балки сопротивляться изгибу. Подставляя (4.9) в формулу (4.6), получаем формулу для нахождения значений напряжений:

. (4.10)

В формуле (4.10) знак «минус» обычно опускается (он связан с выбором направления осей координат сечения и знаков изгибающего момента). В расчётах учёт знака изгибающего момента определяет зоны растянутых и сжатых волокон, а у характеризует расстояние до соответствующих волокон. Поэтому общепринятая форма записи зависимости (4.10) следующая:

. (4.11)

Таким образом, нормальные напряжения в произвольной точке поперечного сечения прямо пропорциональны величине изгибающего момента и расстоянию от нейтральной оси и обратно пропорциональны моменту инерции сечения относительно оси.

Максимальное напряжение при изгибе в сечении балки возникает в точке, наиболее удалённой от нейтральной линии:

. (4.12)

Величина Wx = Jx/|ymax| называется моментом сопротивления сечения при изгибе, она рассчитывается относительно нейтральной (центральной) оси Ох поперечного сечения. В наиболее же опасном сечении балки вдоль оси z

, (4.13)

тогда условие прочности по нормальным напряжениям при изгибе имеет вид:

. (4.14)

Условие прочности (4.14) при изгибе позволяет решать три основных типа задач:

– проектировочный расчет – подбор сечений балок (т. е. расчёт Wx) при известных нагрузках (Мх) и материале балки ([σ]) по формуле:

; (4.15)

– проверочный расчет – проверка прочности балок по формуле (4.14);

– определение допускаемых внешних нагрузок:

[Mx] = [σ]·Wx. (4.16)

Формула (4.11) выведена для чистого изгиба.

При поперечном изгибе в поперечных сечениях возникают и нормальные, и касательные напряжения.

Возникновение касательных напряжений сопровождается появлением деформаций сдвига, в результате чего поперечные сечения балки перестают быть плоскими (гипотеза Бернулли теряет силу). Кроме того, при поперечном изгибе возникают напряжения в продольных сечениях балки, т. е. имеет место надавливание волокон друг на друга.

Более детальные исследования показывают, что, несмотря на это, формула (4.11) даёт вполне надёжные результаты и при поперечном изгибе.

4.5. Перемещения при изгибе. Дифференциальное

уравнение упругой линии балки

Изогнутая ось, представляющая собой геометрическое место центров тяжести поперечных сечений деформированного бруса, называется упругой линией. В результате прогиба балки центр тяжести С (рис. 21) каждого поперечного сечения I−I получает вертикальное и горизонтальное перемещения, а само сечение поворачивается на некоторый угол θ вокруг своей нейтральной оси.

На основании гипотезы малых деформаций в сопротивлении материалов при изгибе балок горизонтальные перемещения считаются ничтожно малыми по сравнению с вертикальными и не учитываются. Вертикальные же перемещения y являются основным определяющим фактором, их обычно называют прогибами.

В инженерной практике большое значение имеет оценка прогибов и сопоставление их наибольших значений с допускаемыми, определяемыми условиями работы балки, т. е. расчёт балок на жёсткость.

Существует несколько методов определения перемещений: с помощью дифференциального уравнения упругой линии балки, метод начальных параметров, энергетический, интеграл Мора, использование правила Верещагина.

Определим перемещение с помощью дифференциального уравнения упругой линии балки. Опираясь на гипотезу малости деформации, можно считать, что (рис.21) и, следовательно,

. (4.17)

Из аналитической геометрии известно, что радиус кривизны ρ кривой у = y(z) выражается как

. (4.18)

Ввиду малости деформаций (y’ = dy/dz << 1) выражение (5.19) упрощается:

. (4.19)

Подставляя в (4.19) значение (4.9), получим дифференциальное уравнение упругой линии или дифференциальное уравнение изгиба балки в виде:

. (4.20)

Здесь учтено, что положительный изгибающий момент (сжатые волокна сверху) соответствует положительной кривизне балки. Значения прогибов балки получаются, таким образом, двукратным интегрированием уравнения (4.20). В уравнении (4.20) под Мх следует понимать его аналитическое выражение как функцию от координаты z–.

Проинтегрировав один раз уравнение (4.20), получим зависимость углов наклона касательных к упругой линии θ, равных углам поворота поперечных сечений.

В результате второго интегрирования получаем уравнение упругой линии балки (уравнение прогибов).

Следует отметить, что если балка имеет несколько участков нагружения, то определение её упругой линии непосредственным интегрированием дифференциального уравнения (4.20) становится сложным из-за необходимости нахождения большого числа постоянных интегрирования из граничных условий. Поэтому в общем случае нагружения балок упругую линию, как правило, ищут другими методами, где упрощено нахождение постоянных интегрирования.

Пример 4.1. Определить прогиб посередине пролёта балки и угол поворота поперечного сечения на левой опоре. Жёсткость балки на изгиб – EJx, длина балки – l (рис. 22).

Решение. Для определения перемещений необходимо составить выражения для изгибающего момента на участке АС. Для этого определим опорные реакции. В нашем случае

.

Тогда аналитическое выражение для изгибающего момента на участке АС в сечении с координатой z (рис.22):

.

Уравнение (4.20) для нашего случая запишется в виде:

.

Интегрируя один раз, получим выражение для угла поворота поперечных сечений:

,

где С – постоянная интегрирования, определяемая из граничных условий (в нашем случае граничными условиями являются: при ):

.

Откуда находим значение С:

.