Принцип суперпозиции
при дискретном
распределении зарядов
принцип суперпозиции
при непрерывном
распределении зарядов
В качестве примера получения выражения для напряженности поля с помощью принципа суперпозиции найдем напряженность поля тонкого стержня конечной длины, равномерно заряженного с линейной плотностью заряда t
Выберем бесконечно малый элемент dl стержня с зарядом dq. Поскольку напряженности от различных элементов направлены по-разному, введем оси проекций х и у. Итегрируя, найдем результирующие напряженности Ех и Еу.
dE— напряженность от элемента стержня dl с зарядом dq = t×dl, dEх и dEy – проекции dE на направления х и у. |
||
Чтобы проинтегрировать, сведем к одной переменной a |
||
длина дуги АС при малых углах, она же из треугольника (А, С, dl) |
||
модуль напряженности |
||
Для бесконечно длинной нити a1 ® 0, a2 ® 180о, следовательно, Еу = 0 и Е = Ех (cos180o = -1), r – расстояние от точки, в которой определяется напряженность, до нити. |
Этот пример показывает, что вычисление напряженности полей представляет собой достаточно сложную задачу даже в нашем случае, когда мы не учитывали поле вблизи концов стержня.
Основной задачей электростатики является вычисление полей заряженных тел. Найти напряженность поля заряженного тела можно с помощью:
1) принципа суперпозиции — это сложная математическая задача, решаемая только в некоторых простых случаях или
2) теоремы Гаусса, которая упрощает расчеты, но только в случае бесконечной плоскости, бесконечной нити (цилиндра) или сфер и шаров (см. ниже).
Теорема Гаусса.
Сначала введем понятие «поток вектора» — это скалярная величина
(Н×м2/Кл = В×м) |
элементарный поток вектора напряженности Е, n – нормаль к площадке, dS – элементарная площадка – это такая малая площадка, в пределах которой Е = const; Еn – проекция вектора Е на направление нормали n |
|
поток вектора напряженности через конечную площадку S |
||
-²- -²- -²-через замкнутую поверхность S |
||
при дискретном распределении зарядов |
Теорема Гаусса: «Поток вектора напряженности через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охватываемых этой поверхностью, деленной на eо» (eо – электрическая постоянная) |
|
при непрерывном распределении зарядов |
Применение теоремы Гаусса.
Чтобы найти напряженность с помощью теорем Гаусса, нужно взять интеграл. А как его взять, если мы Е еще только пытаемся найти? Кроме того, под интегралом «мешает» cosa. Надо суметь выбрать такую замкнутую поверхность (ее удобно называть гауссовой), в каждой точке которой было бы Е = const, и cosa = const. Тогда в левой части теоремы Е и cosa можно будет вынести из-под знака интеграла. Поэтому практически теорему Гаусса можно применить только в следующих случаях: сфера, шар, длинная нить, длинный цилиндр, бесконечная плоскость.
1) Сфера, заряженная с поверхностной плотностью заряда s (Кл/м2)
Рассмотрим области : 1) вне сферы () и внутри ее (). Выберем поверхности: 1) S1 и 2) S2 – обе поверхности – сферы, концентрические с заряженной сферой. Сначала найдем потоки вектора Е через выбранные поверхности, а затем воспользуемся теоремой.
(¨) |
Потоки вектора Е через S1 () и S2. () E^n, a = 0, cosa = 1. |
|
(¨¨) |
по теореме Гаусса; F2 = 0, т. к. S2 не охватывает никаких зарядов. Приравнивая потоки из (¨) и (¨¨), найдем E(r). |
|
q = s×2pR2 – полный заряд сферы |
Вне сферы поле такое же, как поле точечного заряда. На границе сферы происходит скачок напряженности. |
2)Тонкая длинная нить, заряженная с линейной плотностью заряда t (Кл/м)
В этом случае «гауссова» поверхность – соосный с нитью цилиндр длиной l.
Сначала найдем поток, потом воспользуемся теоремой Гаусса.
Разобьем поверхность цилиндра на боковую и две торцевых. Для боковой — cosa = 1, для торцевых — cosa = 0. |
|
||
по теореме Гаусса; охватываемый заряд – это отрезок нити длиной l. Приравнивая и сокращая, получим E(r). |
|||
|
3) Тонкостенный длинный цилиндр, заряженный:
1) с линейной плотностью заряда t или
2) с поверхностной плотностью заряда s.
Этот пример аналогичен предыдущему. Выбираем гауссову поверхность в виде соосного цилиндра, разбиваем поверхность на боковую и две торциальные. В первом случае при заданной линейной плотности t получим такую же формулу, как идля длинной нити. Во втором случае охватываемый заряд равен (s×2p×R×l) и формула для E несколько иная, хотя зависимость от r – та же.
4) Плоскость, бесконечно протяженная, заряженная с поверхностной плотностью заряда s.
Выберем гауссову поверхность S в виде цилиндра, перпендикулярного заряженной плоскости. Высота цилиндра (2×х/2). [9] Разобьем поверхность на боковую и две торцевых.
поток через Sбок = 0, т. к.× E^n, a = 90о и cosa = 0 |
|
||
Sзаштрих – площадка с зарядом, охватываемым цилиндром |
|||
S заштрих = S торц, т. к. образующие цилиндра перпендикулярны заряженной плоскости. Поле протяженной плоскости – однородное и не зависит от расстояния |
|
||
|
5) Две плоскости, параллельные, разноименно заряженные (плоский конденсатор). В этом случае напряженность поля можно найти по принципу суперпозиции, зная напряженность поля одной плоскости:
A) ЕА = Е2 — Е1 = 0 B) ЕВ = Е2 + Е1 =s /eо C) ЕС = Е1 — Е2 =0 |
||
Поле плоского конденсатора можно считать однородным с достаточной степенью точности, если расстояние между пластинами значительно больше размеров пластин. |
Потенциалы полей различных заряженных тел.
Будем рассматривать только случаи, когда напряженность и потенциал зависят только от одной координаты х или радиальной координаты r для сферически или цилиндрически симметричных тел. Разность потенциалов связана с напряженностью в этом случае как (см. формулу (···)):
(ª) |
Связь разности потенциалов с напряженностью для случая одной переменной х или r (математически это уравнение однотипно с (···) при замене х® r) |
Из уравнений (ª) или (···) можно найти разность потенциалов, если известна функция Е(r) или Е(r). Чтобы получить формулу для потенциала, следует выбрать уровень нулевого потенциала (так же, как в случае потенциальной энергии – см. механику). Обычно принимают j = 0 на бесконечности, но для поля нити это невозможно (см. ниже).
1) Точечный заряд.
Подставим в формулу (ª) выражение для напряженности поля точечного заряда. 1 и 2 – любые две точки на радиальной оси координат r. Примем j 1 = 0 при
r1 ®¥, заменим j 2 ® j , r2 ®r получим j (r).
(при j¥ = 0) |
2).Сфера радиуса R, заряженная с поверхностной плотностью заряда s (Кл/м2).
Полный заряд на сфере q = s×4p×R2 . Будем рассматривать две области:1) — выбираем две любые точки 1 и 2 в этой области и 2) также выбираем две любые точки уже в этой области. Потенциал должен быть непрерывной функцией, в отличие от напряженности он не может иметь разрывов в данной точке, т. к. по смыслу j — потенциальная энергия единичного положительного заряда, а двух энергий у одного заряда в одной точке данного поля не может быть.
Подставим в (ª) Е поля сферы. Для получается та же формула, что и для поля точечного заряда. |
|
(при j¥ = 0) Рефераты по физике сдают здесьМГМИМО БГУ ГродноГу Другие статьиПохожая информацияУзнать стоимость за 15 минутРаспродажа дипломныхСкидка 30% по промокоду Diplom2020 Подпишись на наш паблик в ВКНужна работа?Дипломная у наших партнеров |