ВУЗы по физике Готовые работы по физике Как писать работы по физике Примеры решения задач по физике Решить задачу по физике онлайн

Принцип суперпозиции


при дискретном

распределении зарядов

принцип суперпозиции

при непрерывном

распределении зарядов

В качестве примера получения выражения для напряженности поля с помощью принципа суперпозиции найдем напряженность поля тонкого стержня конечной длины, равномерно заряженного с линейной плотностью заряда t

Выберем бесконечно малый элемент dl стержня с зарядом dq. Поскольку напряженности от различных элементов направлены по-разному, введем оси проекций х и у. Итегрируя, найдем результирующие напряженности Ех и Еу.

dE— напряженность от элемента стержня dl с зарядом dq = t×dl, dEх и dEy – проекции dE на направления х и у.

Чтобы проинтегрировать, сведем к одной переменной a

длина дуги АС при малых углах, она же из треугольника

(А, С, dl)

модуль

напряженности

Для бесконечно длинной нити a1 ® 0, a2 ® 180о, следовательно, Еу = 0 и Е = Ех (cos180o = -1),

r – расстояние от точки, в которой определяется напряженность, до нити.

Этот пример показывает, что вычисление напряженности полей представляет собой достаточно сложную задачу даже в нашем случае, когда мы не учитывали поле вблизи концов стержня.

Основной задачей электростатики является вычисление полей заряженных тел. Найти напряженность поля заряженного тела можно с помощью:

1)  принципа суперпозиции — это сложная математическая задача, решаемая только в некоторых простых случаях или

2)  теоремы Гаусса, которая упрощает расчеты, но только в случае бесконечной плоскости, бесконечной нити (цилиндра) или сфер и шаров (см. ниже).

Теорема Гаусса.

Сначала введем понятие «поток вектора» — это скалярная величина

(Н×м2/Кл = В×м)

элементарный поток вектора напряженности Е,

n – нормаль к площадке, dS – элементарная площадка – это такая малая площадка, в пределах которой Е = const; Еn – проекция вектора Е на направление нормали n

поток вектора напряженности

через конечную площадку S

-²- -²- -²-через замкнутую поверхность S

при дискретном распределении зарядов

Теорема Гаусса: «Поток вектора напряженности через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охватываемых этой поверхностью, деленной на eо»

(eо – электрическая постоянная)

при непрерывном распределении зарядов

Применение теоремы Гаусса.

Чтобы найти напряженность с помощью теорем Гаусса, нужно взять интеграл. А как его взять, если мы Е еще только пытаемся найти? Кроме того, под интегралом «мешает» cosa. Надо суметь выбрать такую замкнутую поверхность (ее удобно называть гауссовой), в каждой точке которой было бы Е = const, и cosa = const. Тогда в левой части теоремы Е и cosa можно будет вынести из-под знака интеграла. Поэтому практически теорему Гаусса можно применить только в следующих случаях: сфера, шар, длинная нить, длинный цилиндр, бесконечная плоскость.

1) Сфера, заряженная с поверхностной плотностью заряда s (Кл/м2)

Рассмотрим области : 1) вне сферы () и внутри ее (). Выберем поверхности: 1) S1 и 2) S2 – обе поверхности – сферы, концентрические с заряженной сферой. Сначала найдем потоки вектора Е через выбранные поверхности, а затем воспользуемся теоремой.

(¨)

Потоки вектора Е через S1 () и S2. ()

E^n, a = 0, cosa = 1.

(¨¨)

по теореме Гаусса;

F2 = 0, т. к. S2 не охватывает никаких зарядов. Приравнивая потоки из (¨) и (¨¨), найдем E(r).

q = s×2pR2 – полный заряд сферы

Вне сферы поле такое же, как поле точечного заряда. На границе сферы происходит скачок напряженности.

2)Тонкая длинная нить, заряженная с линейной плотностью заряда t (Кл/м)

В этом случае «гауссова» поверхность – соосный с нитью цилиндр длиной l.

Сначала найдем поток, потом воспользуемся теоремой Гаусса.

Разобьем поверхность цилиндра на боковую и две торцевых. Для боковой — cosa = 1, для торцевых — cosa = 0.

 

по теореме Гаусса; охватываемый заряд – это отрезок нити длиной l. Приравнивая и сокращая, получим E(r).

 

3) Тонкостенный длинный цилиндр, заряженный:

1)  с линейной плотностью заряда t или

2)  с поверхностной плотностью заряда s.

Этот пример аналогичен предыдущему. Выбираем гауссову поверхность в виде соосного цилиндра, разбиваем поверхность на боковую и две торциальные. В первом случае при заданной линейной плотности t получим такую же формулу, как идля длинной нити. Во втором случае охватываемый заряд равен (s×2p×R×l) и формула для E несколько иная, хотя зависимость от r – та же.

4) Плоскость, бесконечно протяженная, заряженная с поверхностной плотностью заряда s.

Выберем гауссову поверхность S в виде цилиндра, перпендикулярного заряженной плоскости. Высота цилиндра (2×х/2). [9] Разобьем поверхность на боковую и две торцевых.

поток через Sбок = 0, т. к.× E^n,

a = 90о и

cosa = 0

 

Sзаштрих – площадка с зарядом, охватываемым цилиндром

S заштрих = S торц, т. к. образующие цилиндра перпендикулярны заряженной плоскости. Поле протяженной плоскости – однородное и не зависит от расстояния

 

 

5) Две плоскости, параллельные, разноименно заряженные (плоский конденсатор). В этом случае напряженность поля можно найти по принципу суперпозиции, зная напряженность поля одной плоскости:

A)  ЕА = Е2 Е1 = 0

B)  ЕВ = Е2 + Е1 =s /eо

C)  ЕС = Е1 Е2 =0

Поле плоского конденсатора можно считать однородным с достаточной степенью точности, если расстояние между пластинами значительно больше размеров пластин.

Потенциалы полей различных заряженных тел.

Будем рассматривать только случаи, когда напряженность и потенциал зависят только от одной координаты х или радиальной координаты r для сферически или цилиндрически симметричных тел. Разность потенциалов связана с напряженностью в этом случае как (см. формулу (···)):

 (ª)

Связь разности потенциалов с напряженностью для случая одной переменной х или r (математически это уравнение однотипно с (···) при замене х® r)

Из уравнений (ª) или (···) можно найти разность потенциалов, если известна функция Е(r) или Е(r). Чтобы получить формулу для потенциала, следует выбрать уровень нулевого потенциала (так же, как в случае потенциальной энергии – см. механику). Обычно принимают j = 0 на бесконечности, но для поля нити это невозможно (см. ниже).

1) Точечный заряд.

Подставим в формулу (ª) выражение для напряженности поля точечного заряда. 1 и 2 – любые две точки на радиальной оси координат r. Примем j 1 = 0 при

r1 ®¥, заменим j 2 ® j , r2 ®r получим j (r).

(при j¥ = 0)

2).Сфера радиуса R, заряженная с поверхностной плотностью заряда s (Кл/м2).

Полный заряд на сфере q = s×4p×R2 . Будем рассматривать две области:1) — выбираем две любые точки 1 и 2 в этой области и 2) также выбираем две любые точки уже в этой области. Потенциал должен быть непрерывной функцией, в отличие от напряженности он не может иметь разрывов в данной точке, т. к. по смыслу j — потенциальная энергия единичного положительного заряда, а двух энергий у одного заряда в одной точке данного поля не может быть.

Подставим в (ª) Е поля сферы. Для получается та же формула, что и для поля точечного заряда.

(при j¥ = 0)

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Другие статьи


Распродажа дипломных

Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

Пройди опрос и получи промокод