Пространство минковского и четырехмерные векторы

Дополнительный блок задач

7.  Частица массой движется вдоль оси Х в соответствии с законом , где – некоторая постоянная, – скорость света, – время. Найдите силу, действующую на частицу в этой системе отсчета.

8.  Релятивистская частица с импульсом и полной энергией движется вдоль оси Х в К – системе. Покажите, что в системе К` – системе, движущейся с постоянной скоростью в направлении оси Х, импульс и полная энергия определяются формулами и .

Практическое занятие № 17

Пространство Минковского и четырехмерные векторы

Краткие теоретические сведения

В специальной теории относительности для математического представления законов удобно использовать четырехмерное пространство (пространство Минковского), используя для описания точки пространственные координаты и время, а именно – величину ( – мнимая единица). Таким образом, в рассматриваемом пространстве первая координата , вторая – , третья – и четвертая – . Например, четырехмерный радиус-вектор имеет координаты , или . Индекс указывает на четырехмерность данного вектора. Первые три координаты называют пространственными, четвертую – временной.

В соответствии с преобразованиями Лоренца и учитывая, что , запишем формулы преобразования компонент четырехмерного вектора при переходе к другой системе координат:

, , , . (17.1)

Компоненты любого четырехмерного вектора при переходе от одной системы координат к другой преобразуются в соответствии с приведенными выше преобразованиями координат радиус-вектора, а именно

, , , . (17.2)

На основе преобразований и уравнений, связывающих величины, все необходимые нам величины можно представить в качестве четырехмерных векторов.

Вопросы для развернутых ответов

1.  Получите формулу преобразования четвертой координаты четырехмерного радиус-вектора?

2.  Какое значение в данной системе отсчета примет четвертая координата для вектора, не зависящего от времени? Сохранится ли четвертая координата в другой системе отсчета?

Литература: [3], глава 17; §84-88.

Основной блок задач

1.  Запишите координаты четырехмерной скорости и четырехмерного ускорения . Учтите, что связь этих величин записывается так же, как и в классической механике.

2.  Докажите инвариантность квадрата четырехмерной скорости и ее ортогональность четырехмерному ускорению.

3.  На основе второго закона Ньютона запишите выражения для координат четырехмерных импульса и силы.

4.  Используя уравнение непрерывности, запишите выражение для четырехмерной плотности тока.

Дополнительный блок задач

5.  Опираясь на уравнение Даламбера для компонент векторного потенциала, найдите компоненты четырехмерного потенциала

6.  Учитывая систему уравнений Максвелла, получите выражения для компонент четырехмерных векторов напряженности магнитного и индукции электрического полей.

7.  Представьте фазу электромагнитной волны в компактной четырехмерной форме.

Практическое занятие № 18

Элементы релятивистской электродинамики

Краткие теоретические сведения

Учитывая правила преобразования компонент четырехмерного потенциала его связь с характеристиками поля, можно получить формулы преобразования электрического и магнитного полей:

, , ; (18.1)

, , . (18.2)

Рассматривая формулы преобразований, можно заметить, что

(18.3)

или

, (18.4)

что указывает на отличие сил, действующих со стороны одного заряда на другой в различных системах отсчета.

При преобразовании электромагнитного поля неизменными (инвариантными) остаются следующие выражения –