Тензор квадрупольного момента

где

.

Тензор квадрупольного момента является симметричным:

Очевидно, что

Следовательно, независимыми элементами тензора являются пять. Но можно привести к диагональному виду (к главным осям). В этом случае квадрупольный момент выглядит следующим образом:

А так как равен нулю, то независимыми остаются только два элемента. Можно положить:

если система обладает азимутальной симметрией, и остается всего один независимый элемент: . Он и определяет квадрупольный момент, является внутренней характеристикой данной системы.

Можно показать, что для электрически нейтральной системы с равным нулю дипольным моментом системы, тензор квадрупольного момента не зависит от выбора начала координат. Положим, что , тогда

Здесь члены с и равны нулю, т. к. . Потенциал квадруполя согласно (4.3.39) имеет вид:

где

Здесь идет суммирование по i и j. Предположим, что система обладает азимутальной симметрией, тогда

С учетом этого получим:

Т. к.

где – полином Лежандра. В этом случае получаем следующий потенциал квадрупольного момента системы:

Обобщая данную формулу, получим потенциал n – того момента:

где

Для наглядности построим несколько эквипотенциальных поверхностей, задавая различные n:

§ 4.4. Системы зарядов в постоянном и неоднородном внешнем электрическом поле

Рассмотрим систему зарядов, находящихся во внешнем электрическом поле. Будем считать, что линии напряженности вектора электрического поля достаточно гладкие, т. е. поле меняется плавно от точки к точке. Внешнее электростатическое поле определяется уравнениями:

Энергия системы зарядов в этом случае определяется выражением:

где – потенциал внешнего поля в точке с радиус-вектором . При этом пренебрегаем энергией взаимодействия самих зарядов. Т. к. внешнее поле плавно меняется в области где находятся заряды, то потенциал можно разложить в ряд Тейлора по малым .

где

Тогда потенциальная энергия системы запишется следующим образом:

Рассмотрим два случая.

1.  В нулевом приближении потенциальная энергия системы

Формально совпадает с потенциальной энергией точечного заряда (суммы всех зарядов системы), который находится в начале координат.

2. В первом приближении получаем потенциальную энергию электрического диполя, находящегося в начале координат:

т. к. .

Если система в целом нейтральна, то этот член будет главным, а для нейтральной системы электрический дипольный момент не зависит от выбора начала координат.