Введение в механику сплошной среды — примеры

Пример. Пусть изучается движение некоторого тела. Характер движения может измениться, если на него начнут воздействовать окружающие тела либо непосредственными толчками, либо воздействием на расстоянии полем, либо как-то иначе. Таким образом, необходимо рассмотреть баланс, с одной стороны которого есть движение тела, а с другой воздействие.

Чтобы внести в балансные соотношения, выраженные математическими формулами, физические характеристики различной физической природы необходимо их «оценить» или «измерить» не только качественно, но и количественно. Именно такие меры и входят в балансные соотношения.

Замечание. При определении пространства и времени были введены два физических параметра и , связанных с расстоянием и временем. Они входят в балансные соотношения, но не относятся к мерам физических величин, а только выражают факт двух форм существования материи (пространство и время).

Приведем следующие меры, которые используются в МСС.

Масса. Мерой количества вещества является масса. Пусть в объеме сплошной среды содержится масса . Т. к. масса распределена по этому объему, то можно ввести функцию плотности массы , согласно следующему равенству

.

Масса является экстенсивным параметром, поэтому она аддитивна. Для произвольного объема его масса находится следующим образом

. (1.16)

Сила. Под силой, действующей на материальную точку, будем понимать некоторую меру воздействия на нее со стороны других материальных объектов, которая, оказывает побуждающее к движению действие. Силы могут иметь различную природу, например, появляться при контакте с другими телами, или возникать в результате действия электрических, магнитных и гравитационных полей, но самым общим, их объединяющим признаком, является их побуждающее к движению действие. Поэтому одинаковые движения одной и той же точки, вызванные разными по физической природе воздействиями можно охарактеризовать одной и той же мерой их воздействия, т. е. силой, и при этом полностью отвлечься от самой природы этого воздействия. Если силы распределены в объеме , то можно ввести объемную плотность силы и определить результирующую силу как

.

Можно также ввести массовую плотность силы , как величину силы, действующую на единицу массы, тогда

.

Из равенства сил, стоящих в левой части двух предыдущих формул, вытекает

или .

Сила также является аддитивной величиной, поэтому результирующая сила объема находится следующим образом

. (1.17)

Аналогично можно рассмотреть поверхностную плотность силы , и определить результирующую силу , действующую на поверхности как

.

Результирующая сила на поверхности находится по формуле

. (1.18)

Момент силы. Момент силы относительно некоторого центра, например, относительно начала координат, определяется по самой силе следующим образом

. (1.19)

Количество движения. Определив материальную точку, и, дав определение ее движения, можно определить и меру поступательного движения материальной точки как произведение ее массы на ее скорость. В МСС при использовании материальных координат можно определить количество движения частицы с массой и скоростью как , т. е.

Мера количества движения также является экстенсивным параметром, поэтому для СС, заключенной в произвольном объеме , в котором содержатся одни и те же частицы, количество движения определяется следующим образом

. (1.20)

Момент количества движения. «Внешний» момент количества движения относительно начала системы координат, заданной эйлеровыми координатами , определяется по количеству движения поступательного движения следующим образом

. (1.21)

«Внутренний» момент количества движения относится к внутреннему вращению выбранного элемента массы континуума определяется следующим образом

, (1.22)

где — макроскопическое среднее внутренних моментов инерции, — угловая скорость внутреннего вращения. Чтобы описать превращения «внешнего» и «внутреннего» моментов количества движения друг в друга с помощью неравновесной термодинамики, следует ввести аксиальный вектор

(1.23)

2 ОСНОВНЫЕ ТЕНЗОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

2.1 ТЕНЗОР ДЕФОРМАЦИЙ

В деформируемых твердых телах важна такая характеристика, как деформация дела. Деформация появляется тогда, когда материальные частицы изменяют свое положение друг относительно друга. Поэтому введем следующие определения.