ВУЗы по физике Готовые работы по физике Как писать работы по физике Примеры решения задач по физике Решить задачу по физике онлайн

Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях


09.1.0 Семинар. Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях. Электромагнитные волны. Излучение

Задача 09.1.1

Нерелятивистский протон mp массой и pe зарядом влетел в вакууме в полупространство с однородным магнитным полем по нормали к вектору B индукции этого магнитного поля и известным B модулем. Найти отношение потерянной Δ протоном кинетической энергии за время его движения в однородном магнитном поле к первоначальной Wк0 кинетической энергии этого протона.

Дано: B, mp, pe / ΔWк/ Wк0 = ?

В подвижной (рис. 09.1.1) O’X’Y’Z’ системе координат, которая вращается вместе с p протоном относительно неподвижной OXYZ системы координат в магнитном поле с модулем B вектора B индукции магнитного поля, действует вектор Fm (7.37) из раздела 07.1.0 "Магнитостатика" силы Лоренца, который вследствие перпендикулярности вектора vτ линейной скорости p протона и вектора B магнитной индукции направлен к центру O окружности радиусом R, по которой вращается этот p протон. Протон p вращается по окружности радиуса R вместе с подвижной

 

O’X’Y’Z’ системой, которая является неинерциальной системой, и двигается с модулем an (1.26) из раздела 01.00 "Физические основы механики" вектора an нормального ускорения, имеющего следующий вид: an = vτ2/R м/с2, (1.1) где vτмодуль вектора vτ линейной скорости (рис.01.0.5) из раздела 01.0.0. "Физические основы механики" движения подвижной O’X’Y’Z’ неинерциальной системы по окружности R радиусом относительно неподвижной OXYZ системы координат.

В подвижной O’X’Y’Z’ неинерциальной системе координат p протон неподвижен и на него помимо вектора Fq (7.37) из раздела 07.1.0 "Магнитостатика" силы Лоренца действует (рис. 09.1.1) вектор инерциальной силы, направленный противоположно вектору an нормального (рис.01.0.5) из раздела 01.0.0. "Физические основы механики" ускорения, с которым подвижная O’X’Y’Z’ неинерциальная система координат двигается по окружности R радиусом относительно неподвижной OXYZ системы координат.

Проекция по II закону Ньютона всех сил, действующих на p протон массой mp в подвижной O’X’Y’Z’ неинерциальной системе координат на O’X’ ось, с учётом неподвижности этого p протона в этой подвижной O’X’Y’Z’ неинерциальной системе координат, а также с учётом проекции вектора Fq (7.37) из раздела 07.1.0 "Магнитостатика" силы Лоренца и вектора инерциальной силы на O’X’ ось имеет следующий вид: O’X’: 0 = peBvτ(mp vτ2/R) ↔ R = mpvτ /peB м. (1.2) Протон p по условию влетел по нормали в полупространство с однородным магнитным полем и совершает движение с модулем vτ вектора vτ линейной скорости согласно (1.2) по полуокружности R радиуса за τ время, имеющего следующее значение: τ = πR/vτ = πmp/peB с (1.3) Определяем с использованием (1.2) модуль an (1.1) вектора an нормального ускорения вращения p протона, имеющего следующее значение: an = vτ2/R = peBvτ/mp м/с2. (1.4) Мощность P излучения движущегося p протона с (1.4) модулем an вектора an ускорения, имеющего pe заряд, в данный t времени, согласно (9.96) раздела 09.0.0 "Электромагнитные волны" с учётом равенства относительной ε диэлектрической проницаемости вакуума единице, а также с учётом равенства в вакууме v фазовой скорости электромагнитной волны скорости c света в вакууме, выражение этой мощности P излучения движущегося p протона имеет следующий вид: P = pe 2an 2/6πε0с3 = pe4vτ2B2/6πε0c3mp2 кг·м2/с3(Вт). (1.5) Энергия Δ излучения или потерянная кинетическая энергия p протоном (1.3) за τ время с учётом его мощности (1.5) P излучения имеет следующий вид:

Δ = Pτ = pe3vτ2B/6ε0c3mp кг·м22 (Дж). (1.6) Отношение потерянной (1.6) кинетической Δ энергии p протоном за τ время его движения в однородном магнитном поле к первоначальной кинетической энергии этого p протона имеет следующий вид: ΔWк/ Wк0 = (pe3vτ2B)/[(6ε0c3mp)(mpvτ2/2)]= pe3B/3ε0c3mp2. (1.7)

Задача 09.1.2

Цилиндрический нерелятивистский протонный пучок радиуса r0 распространяется в свободном пространстве. Протоны пучка mp массой и pe зарядом летят параллельно, их кинетическая энергия равна Wkp, а концентрация равна n. Найти модуль S и направление вектора S Пойнтинга внутри и вне протонного пучка на r, r расстоянии от его оси.

Дано: r0, mp, pe, Wkp, n/ S(r) = ?

Поскольку протоны (рис. 09.1.2) распространяются с вектором vp нерелятивистской скорости, то vp модуль их скорости с учётом заданной Wkp кинетической (1.88) из раздела 01.0.0 "Физические основы механики" имеет следующий вид: vp = (2Wkp /mp)1/2 м/с. (2.1) Согласно (6.7) из раздела 06.0.0 "Постоянный электрический ток" теории электронной проводимости модуль j вектора j плотности тока, который образован цилиндрическим нерелятивистским протонным пучком радиуса r0 с границами, изображёнными на рис.6.2 красными штриховыми линиями, с учётом (2.1) имеет следующий вид: j = npevp = npe(2Wk /mp)1/2 А/м2, (2.2) где mp, pe, vp, n и Wkp — соответственно масса, pe заряд, модуль vp вектора vp нерелятивистской скорости, концентрация и кинетическая энергия протонов.

Замкнутая поверхность воображаемого цилиндра

 

l длиной, r1 радиусом (рис. 09.1.2) и V1 = πr1 2l объёмом этого воображаемого цилиндра, находящегося в нерелятивистском протонном пучке, охватывает движущиеся протоны, общий заряд qp1 которых с учётом их концентрации n и заряда pe одного протона имеет следующий вид:

qp1 = penV1 = penπr12l А·с, (2.3) где r1 ≤ r0.

Векторы E1′, E1» …. напряжённости электрического поля представляют собой цилиндрическое векторное поле и направлены перпендикулярно боковой поверхности воображаемого цилиндра r1 радиуса F1 = 2πr1l площадью, находящегося в нерелятивистском протонном пучке, т. е. направлены по радиальным силовым линиям напряжённости электрического поля, которые на рис. 09.1.2 изображены точками. Задача определения модуля E1 вектора E1 напряжённости электрического поля в нерелятивистском протонном пучке, т. е при r1 < r0 , аналогична (1.7) из 05.2.1 семинара "Проводники и диэлектрики в электрическом поле", в которой определяется модуль E вектора E напряжённости электростатического поля внутри цилиндрического конденсатора.

Различие с (1.7) из 05.2.1 семинара "Проводники и диэлектрики в электрическом поле" заключается в равенстве единице относительной диэлектрической ε проницаемости в нерелятивистском протонном пучке и в отличие общего заряда qp1 движущихся протонов, охватываемых воображаемым цилиндром l длиной и r1 радиусом (рис.09.1.2) с площадью боковой поверхности этого воображаемого цилиндра F1 = 2πr1l площадью, от погонного q0 заряда

(рис. 05.2.1) из 05.2.1 семинара "Проводники и диэлектрики в электрическом поле" на внутренней обкладке цилиндрического конденсатора.

Модуль E1 вектора E1 напряжённости электрического поля в нерелятивистском протонном пучке имеет с учётом (2.3) следующий вид: E1F1= qp1 /ε0 ↔ E12πr1l = penπr12l/ε0 E1 = penr1/2ε0 кг·м/А·с3 (В/м), (2.4) где r1 ≤ r0.

Замкнутая поверхность воображаемого цилиндра l длиной и r2 радиусом (рис. 09.1.2), находящаяся за пределами нерелятивистского протонного пучка, охватывает все движущиеся протоны в цилиндре r0 радиуса и объёмом V2 = πr02l этого воображаемого цилиндра, общий заряд qp2 которых с учётом их концентрации n и заряда pe одного протона имеет следующий вид:

qp2 = penV2 = penπr02l А·с. (2.5) Модуль E2 вектора E2 напряжённости электрического поля за пределами нерелятивистского протонного пучка по аналогии с (2.4) с учётом того, что общий заряд (2.5) qp2 движущихся за пределами этого нерелятивистского протонного пучка протонов охватывается (рис. 09.1.2) воображаемым цилиндром l длиной и r2 радиусом с F2 = 2πr2l площадью боковой поверхности этого воображаемого цилиндра, имеет следующий вид:

E2F2= qp2 /ε0 ↔ E22πr2l = penπr02l/ε0 E2 = penr02/2r2ε0 кг·м/А·с3 (В/м). (2.6) где r2 ≥ r0. Результирующий ток проводимости Iрез1силой (рис. 09.1.2) через основание воображаемого цилиндра с r1 радиусом и площадью N1 = πr12, находящегося в нерелятивистском протонном пучке, с учётом (2.2) модуля j вектора j плотности тока в этом цилиндрическом нерелятивистском протонном пучке имеет следующий вид: Iрез1 = jN1 = jπr1 2 = npe(2Wk /mp)1/2πr1 2 А, (2.7) где r1 ≤ r0. Векторы H1′, H1» напряжённости поля магнитного поля представляют собой цилиндрическое векторное поле и направлены по касательной к силовым линиям напряжённости магнитного поля, которые имеют форму окружности r1 радиуса, L1 = 2πr1 длиной и изображены на

рис. рис. 09.1.2 чёрными линиями штрих с двумя точками. Задача определения модуля Н1 вектора H1 напряжённости магнитного поля в нерелятивистском протонном пучке, т. е при r1 < r0 аналогична (1.3) из 07.2.1 семинара "Постоянное магнитное поле", в которой определяется модуль H вектора напряжённости H магнитного поля в функции от радиуса r окружности, охватывающей кольцевую поверхность магнетика с внутренним R радиусом и внешним r радиусом. Различие с (1.3) из 07.2.1 семинара "Постоянное магнитное поле" заключается в равенстве единице относительной μ магнитной проницаемости в нерелятивистском протонном пучке и в отличие результирующего тока проводимости Iрез1 силой (рис. 09.1.2) через основание воображаемого цилиндра с r1 радиусом и площадью N1 = πr12, находящегося в нерелятивистском протонном пучке, от результирующего тока проводимости Iрез силой (1.2) из 07.2.1 семинара "Постоянное магнитное поле" через поверхность кольца с внутренним R радиусом и внешним r радиусом.

Модуль H1 вектора H1 напряжённости магнитного поля в нерелятивистском протонном пучке имеет с учётом (2.7) следующий вид:

H1L1 = Iрез1 ↔ H12πr1 = npe(2Wk /mp)1/2πr1 2↔ H1 = nper1(Wk /2mp)1/2 А/м, (2.8) где r1 ≤ r0. Результирующий ток проводимости Iрез2 силой (рис. 09.1.2) через основание воображаемого цилиндра с r2 радиусом и N2 = πr22 площадью, находящегося за пределами нерелятивистского протонного пучка и поэтому включающего все движущиеся протоны через основание цилиндра с r0 радиусом и N0 = πr02 площадью, с учётом (2.2) модуля j вектора j плотности тока в цилиндрическом нерелятивистском протонном пучке этот результирующий ток проводимости Iрез2 силой будет иметь следующий вид: Iрез2 = jN0 = jπr0 2 = npe(2Wk /mp)1/2πr0 2 А. (2.9) Модуль H2 вектора H2 напряжённости магнитного поля за пределами нерелятивистского протонного пучка по аналогии с (2.8) с учётом того, что силовые линии напряжённости магнитного поля, которые имеют форму окружности r2 радиуса, длиной L2 = 2πr2 и изображены на рис. 09.1.2 зелёными линиями штрих с двумя точками, охватывают (2.9) результирующий ток проводимости

Iрез2 силой, поэтому этот модуль H2 вектора H2 напряжённости магнитного поля имеет следующий вид: H2L2 = Iрез2 ↔ H22πr2 = npe(2Wk /mp)1/2πr0 2 ↔ H2 = npe r0 2(Wk /2mp)1/2πr2 А/м, (2.10) где r2 ≥ r0. Векторы E1, E2 …. напряжённости электрического поля (рис.6.2) внутри и за пределами нерелятивистского протонного пучка представляют собой цилиндрическое векторное поле и направлены по er орту радиальной полярной координаты.

Векторы H1, H2 напряжённости поля магнитного поля (рис. 09.1.2) внутри и за пределами нерелятивистского протонного пучка представляют собой цилиндрическое векторное поле и направлены по орту угловой полярной координаты.

Вектор S1 Пойнтинга (9.39) из раздела 09.0.0 "Электромагнитные волны" с учётом (2.4) модуля E1 вектора E1 напряжённости электрического поля, а также с учётом (2.8) модуля H1 вектора H1 напряжённости магнитного поля в нерелятивистском протонном пучке имеют следующий вид: S1 = [E1, H1] = [E1er, H1eφ] = [( penr1/2ε0)er, nper1(Wk /2mp)1/2eφ] = (penr1/2ε0)[nper1(Wk /2mp)1/2] ex = = [n2 pe 2 r1 2(2Wk /mp)1/2/4ε0]eY, (2.11) где eY — орт в цилиндрической системе координат, направленный по OY оси и составляющий с

er ортом радиальной полярной координаты, ортом угловой полярной координаты правовинтовую систему, т. е. eY= [er, eφ]; r1 ≤ r0.

Модуль S1 вектора S1 Пойнтинга, направленного вдоль OY оси, в нерелятивистском протонном пучке согласно (2.11) имеет следующий вид:

S1 = n2 pe 2 r1 2(2Wk /mp)1/2/4ε0 кг3 (Вт2), (2.12) где r1 ≤ r0.

Вектор S2 Пойнтинга (9.39) из раздела 09.0.0 "Электромагнитные волны" с учётом (2.6) модуля E2 вектора E2 напряжённости электрического поля, а также с учётом (2.10) модуля H2 вектора H2 напряжённости магнитного поля за пределами нерелятивистского протонного пучка имеют следующий вид: S2 = [E2, H2] = [E2er, H2eφ] = [(penr02/2r2ε0 )er, npe r0 2(Wk/2mp)1/2πr2 eφ] = = (penr02/2r2ε0)[nper0 2(Wk /2mp)1/2πr2]ex = [n2pe 2r04(2Wk/mp)1/2/4ε0r22] eY, (2.13) где eY — орт в цилиндрической системе координат, направленный по OY оси и составляющий с er ортом радиальной полярной координаты, ортом угловой полярной координаты правовинтовую систему, т. е. eY = [er, eφ]; r2 ≥ r0.

Модуль S2 вектора S2 Пойнтинга, направленного вдоль OY оси, за пределами нерелятивистского протонного пучка согласно (2.13) имеет следующий вид: S2 = n2pe 2r04(2Wk/mp)1/2/4ε0r22 кг/с3 (Вт/м2). (2.14)

где r2 ≥ r0.

Согласно (9.37) из раздела 09.0.0 "Электромагнитные волны" и выражениям (2.12), (2.14) с их размерностями модули S1, S2 вектора S1, S2 Пойнтинга равняются количеству энергии, переносимой в нерелятивистском протонном пучке и соответственно за его пределами через поверхность, перпендикулярную направлению распространения этого нерелятивистского протонного пучка и равную единичной площади, за единицу t времени.

Задача 09.1.3

В вакууме вдоль OY оси распространяются две плоские одинаково поляризованные бегущие электромагнитные волны, векторы E1, E2 напряжённости электрического поля которых изменяются по следующим уравнениям с гармоническими функциями: E1 = E0cos(ωt — ky) и E2 = E0cos(ωt — ky + φ), где E0 = kE0 — вектор амплитуды каждой из плоских бегущих электромагнитных волн, а k — орт декартовой системы координат по OZ оси; φ — начальная фаза колебаний вектора E2 напряжённости электрического поля второй электромагнитной волны.

Найти <S> среднее значение плотности потока энергии, переносимой электромагнитной волной, т. е среднее <S> значение S модуля вектора S Пойнтинга этой электромагнитной волны.

Дано: E1, E2/<S> = ?

На рис. 09.1.3 по оси OY с учётом (2.70) из раздела 02.0.0 "Колебания и волны" волнового числа k = 2π/λ,

где λ — длина электромагнитной волны, отложен Ф фазовый угол этой плоской электромагнитной волны (2.69) из раздела 02.0.0 "Колебания и волны" по направлению её распространения в момент времени, например, tn = 2T.

 

В плоскости площади F, ориентированной перпендикулярно, например, в y1 координате существуют одинаково направленные гармонические колебаний векторов E1, E2 напряжённости электрического поля электромагнитной волны. Результирующий вектор колебаний напряжённости электрического поля по аналогии с (2.17) из раздела 02.0.0 "Колебания и волны" определится сложением двух одинаково направленных гармонических колебаний векторов

E1, E2 напряжённостей электрического поля электромагнитной волны. С учётом тригонометрического тождества результирующий вектор колебаний напряжённости электрического поля двух одинаково направленных по k орту гармонических колебаний векторов

E1, E2 напряжённостей электрического поля электромагнитной волны имеет следующий вид:

= E0 k[cos(ωt — ky1) + cos(ωt — ky1 + φ)] = 2E0 k {cos[2(ωt — ky1) + φ]/2}cos(φ/2), (3.1) где E0 = E0 = E0 одинаковая амплитуда гармонических колебаний векторов E1, E2 напряжённости электрического поля первой и второй электромагнитной волны.

Вектор результирующего колебания в y1 координате напряжённости магнитного поля согласно (9.24) из раздела 09.0.0 "Электромагнитные волны" направлен (рис. 09.1.3) вдоль OX оси и совпадает с направлением единичного i орта. С учётом (3.1) вектор результирующего колебания в координате y1 напряжённости магнитного поля электромагнитной волны имеет следующий вид: = H0 i[cos(ωt — ky1) + cos(ωt — ky1 + φ)] = 2H0 i{cos[2(ωt — ky1) + φ]/2}cos(φ/2), (3.2) где H0 = H0 = H0 одинаковая амплитуда гармонических колебаний векторов H1, H2 напряжённости электрического поля первой и второй электромагнитной волны.

Согласно (9.29) из раздела 09.0.0 "Электромагнитные волны" отношение E0/H0 амплитуд колебаний векторов E0 напряжённостей (9.24) из раздела 09.0.0 "Электромагнитные волны" электрического поля вдоль OZ оси и H0 магнитного поля вдоль OX оси электромагнитной волны для вакуума имеет следующий вид: E0/H0 = (μ0/ε0)1/2 кг·м2/А2с2. (3.3) С учётом (9.10) из раздела 09.0.0 "Электромагнитные волны " равенства в вакууме v скорости электромагнитной волн скорости с = 1/(ε0 μ0)1/2 света выражение (3.3) для H0 амплитуды результирующего колебания вектора H0 (10.23) магнитного поля электромагнитной волны принимает следующий вид: H0 = ε0сE0 А/м . (3.4) С учётом направленности вектора результирующего колебания напряжённости магнитного поля электромагнитной волны в y1 координате по OX оси с единичным i ортом, а также с учётом (3.4) выражение (3.2) вектора результирующего колебания в y1 координате напряжённости магнитного поля электромагнитной волны принимает следующий вид: = 2ε0сiE0 {cos[2(ωt — ky1) + φ]/2}cos(φ/2). (3.5) С учётом направленности вектора результирующего колебания напряжённости электрического поля электромагнитной волны в y1 координате по OZ оси с единичным k ортом выражение (3.1) вектора результирующего колебания в y1 координате напряжённости электрического поля электромагнитной волны принимает следующий вид: = 2kE0 {cos[2(ωt — ky1) + φ]/2}cos(φ/2). (3.6) Вектор S Пойнтинга (9.39) из раздела 09.0.0 "Электромагнитные волны" для (3.6) вектора результирующего колебания в y1 координате напряжённости электрического поля электромагнитной волны и (3.5) вектора результирующего колебания в y1 координате напряжённости магнитного поля этой же электромагнитной волны (рис. 09.1.3) имеет следующий вид: S = [,Hр] = 4ε0с[ik]E0 2{cos2 [2(ωt — ky1) + φ]/2}cos2 (φ/2). (3.7) С учётом равенства в (3.7) векторного [ik] произведения единичному j орту, направленному (рис. 09.1.3) из раздела 09.0.0 "Электромагнитные волны" вдоль OY оси, модуль S вектора S Пойнтинга (3.7) равняется количеству энергии, переносимой результирующей электромагнитной волной в направлении OY оси через поверхность F площадью, перпендикулярную направлению распространения этой результирующей электромагнитной волны, расположенную в y1 координате и равную единичной площади, за единицу t времени, и имеет следующий вид:

S = 4ε0сE0 2{cos2 [2(ωt — ky1) + φ]/2}cos2(φ/2) кг3 (Вт2). (3.8) Среднее <S> значение модуля S (3.8) вектора S Пойнтинга (рис. 09.1.3), т. е. среднее значение плотности потока энергии, переносимой результирующей электромагнитной волной в направлении OY оси через поверхность F площадью, перпендикулярную направлению распространения этой результирующей электромагнитной волны, расположенную в y1 координате и равную единичной площади, за Δt интервал времени, например (рис. 09.0.4) из раздела 09.0.0 "Электромагнитные волны", равный периоду T колебаний электромагнитной волны, определяется из следующего выражения: T <S> = 4ε0сE0 2cos2(φ/2) {∫ {cos2 [2(ωt — ky1) + φ]/2}dt}/T. (3.9) 0 В выражении (3.9) при вычислении интеграла применяется (9.24) из раздела 09.0.0 "Электромагнитные волны" соотношение ω=2π/T между ω циклической частотой и T периодом колебаний электромагнитной волны, вследствие чего значение этого интеграла принимает следующий вид:

T ∫ {cos2 [2(ωt — ky1) + φ]/2}dt}/T = 1/2. (3.10) 0 Подставляем (3.10) в (3.9) с учётом тригонометрического cos2(φ/2) = (1+ cosφ)/2 тождества и получаем следующее среднее <S> значение модуля S вектора S Пойнтинга, т. е. среднее значение плотности потока энергии, переносимого результирующей электромагнитной волной в направлении OY оси через поверхность F площадью, перпендикулярную направлению распространения этой результирующей электромагнитной волны, расположенную в y1 координате и равную единичной площади, за Δt интервал времени: <S> = ε0сE0 2(1+ cosφ) кг/с3 (Вт/м2). (3.11)

Задача 09.1.4

В вакууме вдоль OY оси установилась плоская стоячая электромагнитная волна, вектор

E напряжённости электрического поля которых изменяется по следующему уравнению

E = E0coskycosωt, где E0 = kE0 — вектор амплитуды напряжённости электрического поля стоячей электромагнитной волны, а k — орт декартовой системы координат по OZ оси. Изобразить примерный график распределения векторов E напряжённости электрического поля и H напряжённости магнитного поля стоячей электромагнитной волны в зависимости от y координаты в моменты t0 = 0,

t1 = T/4 времени. Найти H(y, t) уравнение, по которому изменяется вектор H напряжённости магнитного поля стоячей электромагнитной волны. Дано: E = E0coskycosωt/Примерный график = ? H(y, t) = ?

Результирующие E(y, t), H(y, t) уравнения, по которым изменяются векторы E напряжённости электрического поля, H индукции магнитного поля стоячей электромагнитной волны в сечении с

y координатой в произвольный момент t времени определяется (2.122) из раздела 02.0.0 "Колебания и волны" суперпозицией бегущих плоских электромагнитных волн в (2.69) из раздела 02.0.0 "Колебания и волны" положительную и (2.72) из раздела 02.0.0 "Колебания и волны" отрицательную стороны OY оси.

Проекции EZ+, HX+ на OZ, OX оси координат (9.24) из раздела 09.0.0 "Электромагнитные волны" соответственно векторов напряжённостей EZ+ электрического и HX+ магнитного поля, в зависимости от t времени и y координаты (рис. 09.1.4) бегущих плоских электромагнитных волн в (2.69) из раздела 02.0.0 "Колебания и волны" положительную сторону OY оси имеют следующий вид: EZ+ = (E0/2)cos(ωt — ky+ φ1) ↔ EZ+ = (E0/2)cos(ωt — ky); (4.1) HX+ = (H0/2)cos(ωt — ky+ φ2) ↔ HX+ = (H0/2)cos(ωt — ky), (4.2)

где φ1 = φ2 = 0 начальные фазы колебаний векторов напряжённостей соответственно

EZ+ электрического поля вдоль OZ оси и HX+ магнитного поля вдоль OX оси бегущих плоских электромагнитных волн; ω циклическая частота колебаний векторов напряжённостей

EZ+ электрического поля вдоль OZ оси и HX+ магнитного поля вдоль OX оси бегущих плоских электромагнитных волн; k = ω/c (2.70) из раздела 02.0.0 "Колебания и волны"- волновое число бегущих плоских электромагнитных волн; с — фазовая (9.10) из раздела 09.0.0 "Электромагнитные волны" скорость плоской бегущей электромагнитной волны в вакууме, которая равна с скорости света в вакууме; E0/2 и H0/2 — амплитуды колебаний бегущих плоских электромагнитных волн в положительную сторону OY оси векторов напряжённостей соответственно EZ+ электрического вдоль OZ оси и HX+ магнитного вдоль OX оси полей.

На рис. 09.1.4 изображена примерная графическая зависимость векторов напряжённостей EZ+ электрического вдоль OZ оси и HX+ магнитного вдоль OX оси полей плоской электромагнитной волны, бегущей в положительную сторону OY оси, от y координаты в момент t0=0 времени.

Вектор S+ Пойнтинга (9.39) из раздела 09.0.0"Электромагнитные волны" с учётом (4.1), (4.2) направления (рис. 09.1.4) векторов соответственно

 

напряжённостей EZ электрического вдоль OZ оси и HX магнитного вдоль OX оси полей имеет следующий вид: S+ = [EZ+, HX+ ] = [EZ+k, HX+ i] = EZHX j, (4.3) где j — орт (1.1) из раздела 01.0.0 "Физические основы механики" в прямоугольной декартовой системе координат, направленный по OY оси и составляющий с k, i ортами, направленными соответственно по OZ, OX осям, правовинтовую систему, т. е. j = [k, i].

Согласно (4.3) вектор S+ Пойнтинга направлен (рис. 09.1.4) в положительную сторону OY оси и указывает направление переноса энергии (4.1), (4.2) плоской электромагнитной волной в эту положительную сторону OY оси.

Проекции EZ-, HX- на OZ, OX оси координат (9.24) из раздела 09.0.0 "Электромагнитные волны" векторов соответственно напряжённостей EZ- электрического вдоль OZ оси и

HX — магнитного вдоль OX оси полей, в зависимости от t времени и y координаты (рис. 09.1.5) бегущих плоских электромагнитных волн в (2.72) из раздела 02.0.0 "Колебания и волны" отрицательную сторону OY оси имеют по аналогии с (4.1), (4.2) следующий вид:

EZ — = (E0/2)cos(ωt + ky+ φ1) ↔ EZ -= (E0/2)cos(ωt + ky); (4.4) HX — = — (H0/2)cos(ωt + ky+ φ2) ↔ HX — = — (H0/2)cos(ωt + ky), (4.5) где знак "" перед проекцией HX- на OX ось вектора напряжённости HX — магнитного вдоль OX оси поля определяет ориентацию вектора S — Пойнтинга в отрицательную сторону OY оси.

На рис. 09.1.5 изображена примерная графическая зависимость векторов напряжённостей EZ- электрического вдоль OZ оси и HX — магнитного вдоль OX оси полей плоской электромагнитной волны, бегущей в отрицательную сторону OY оси, от y координаты в момент, t0 = 0 времени.

Вектор S — Пойнтинга (9.39) из раздела 09.0.0 "Электромагнитные волны" с учётом (4.4), (4.5) направления (рис. 09.1.5) векторов напряжённостей

 

t0=0

 

EZ- электрического вдоль OZ оси и HX — магнитного вдоль OX оси полей имеет следующий вид: S — = [EZ-, HX — ] = [EZ-k, HX — i] = EZ-HX — j, (4.6) где j — орт (1.1) из раздела 01.0.0 "Физические основы механики" в прямоугольной декартовой системе координат, направленный по OY оси и составляющий с k, i ортами, направленными соответственно по OZ, OX осям, правовинтовую систему, т. е. j = [k, i].

Согласно (4.6) вектор S- Пойнтинга направлен (рис. 09.1.5) в отрицательную сторону OY оси и указывает направление переноса энергии (4.4), (4.5) плоской электромагнитной волной в эту отрицательную сторону OY оси.

Графическое сложение бегущих плоских электромагнитных волн в (4.1), (4.2) положительную (рис. 09.1.4) и в (4.4), (4.5) отрицательную (рис. 09.1.5) стороны OY оси приводит к (рис. 09.1.6) наличию в момент t0 = 0 времени вектора EZ напряжённости электрического поля вдоль OZ оси плоской стоячей электромагнитной волны, изменяющегося по следующему уравнению: EZ = E0coskycosωt0= E0cosky, (4.7) где k = 2π/λ волновое число (2.70) из раздела 02.0.0 "Колебания и волны"; λ кратчайшее расстояние между точками в вакууме, в которых разность фаз колебаний векторов напряжённостей

 

EZ электрического поля вдоль OZ оси (рис. 02.0.19) из раздела 02.0.0 "Колебания и волны" равна .

Согласно графическому сложению бегущих плоских электромагнитных волн в (4.1), (4.2) положительную (рис. 09.1.4) и в (4.4), (4.5) отрицательную (рис. 09.1.5) стороны OY оси приводит к (рис. 09.1.6) отсутствию в момент t0 = 0 времени вектора напряжённости HX магнитного поля вдоль OX оси плоской стоячей электромагнитной волны.

На рис. 09.1.7 изображена примерная графическая зависимость векторов напряжённостей EZ+ электрического вдоль OZ оси и HX+ магнитного вдоль OX оси полей плоской электромагнитной волны, бегущей в положительную сторону OY оси, от y координаты в момент

t1 = T/4 времени.

Промежуток T времени, за которое плоская (рис. 09.0.3) из раздела 09.0.0 "Электромагнитные волны" бегущая электромагнитная волна преодолевает с фазовой c скоростью в вакууме расстояние, равное λ длине волны, называют периодом колебаний электромагнитной волны.

Поэтому за промежуток T/4 времени бегущая в положительную сторону OY оси электромагнитная волна преодолевает с фазовой

c скоростью в вакууме расстояние, равное λ/4 длине волны, т. е. плоскость равных фаз этой плоской (рис. 09.0.3) из раздела 09.0.0 "Электромагнитные волны" бегущей электромагнитной волны с максимумами векторов напряжённостей EZ электрического вдоль

 

OZ оси и HX магнитного вдоль OX оси полей, находящаяся в момент t0 = 0 времени (рис. 09.1.4) в

O координате, переходит (рис. 09.1.7) за промежуток T/4 времени по OY оси в y = λ/4 координату.

На рис. 09.1.8 изображена примерная графическая зависимость векторов напряжённостей EZ- электрического вдоль OZ оси и

HX — магнитного вдоль OX оси полей плоской электромагнитной волны, бегущей в отрицательную сторону OY оси, от y координаты в момент t1 = T/4 времени.

За промежуток T/4 времени бегущая в отрицательную сторону

 

OY оси электромагнитная волна преодолевает с фазовой c скоростью в вакууме расстояние, равное λ/4 длине волны, т. е. плоскость равных фаз этой плоской (рис. 09.0.3) из раздела 09.0.0 "Электромагнитные волны" бегущей электромагнитной волны с максимумами векторов напряжённостей EZ электрического вдоль OZ оси и HX магнитного вдоль OX оси полей, находящаяся в момент t0 = 0 времени (рис. 09.1.5) в O координате, переходит (рис. 09.1.8) за промежуток

T/4 времени по OY оси в y = — λ/4 координату.

Графическое сложение бегущих плоских электромагнитных волн в (4.1), (4.2) положительную (рис. 09.1.7) и в (4.4), (4.5) отрицательную (рис. 09.1.8) стороны OY оси приводит к (рис. 09.1.9) наличию в момент t1 = T/4 времени вектора напряжённости HX магнитного поля вдоль

OX оси плоской стоячей электромагнитной волны, изменяющегося по следующему уравнению: HX = H0sinky, (4.8)

где k = 2π/λ волновое число (2.70) из раздела 02.0.0 "Колебания и волны"; λ кратчайшее расстояние между точками в вакууме, в которых

 

разность фаз колебаний вектора напряжённости HX магнитного поля вдоль OX оси (рис. 02.0.19) из раздела 02.0.0 "Колебания и волны" равна .

Согласно графическому сложению бегущих плоских электромагнитных волн в (4.1), (4.2) положительную (рис. 09.1.7) и в (4.4), (4.5) отрицательную (рис. 09.1.8) стороны OY оси приводит к (рис. 09.1.9) отсутствию в момент t0 = T/4 времени вектора EZ напряжённости электрического поля вдоль OZ оси плоской стоячей электромагнитной волны.

Графическое сложение бегущих плоских электромагнитных волн в (4.1), (4.2) положительную (рис. 09.1.4) и в (4.4), (4.5) отрицательную (рис. 09.1.5) стороны OY оси приводит к наличию в момент t0 = T/2 времени вектора EZ напряжённости электрического поля вдоль OZ оси плоской стоячей электромагнитной волны, изменяющегося по (4.7) уравнению, и имеет графическую (рис. 09.1.6) зависимость.

Графическое сложение бегущих плоских электромагнитных волн в (4.1), (4.2) положительную (рис. 09.1.4) и в (4.4), (4.5) отрицательную (рис. 09.1.5) стороны OY оси приводит к наличию в момент t0 = 3T/4 времени вектора EZ напряжённости электрического поля вдоль OZ оси плоской стоячей электромагнитной волны, изменяющегося по (4.8) уравнению, и имеет графическую (рис. 09.1.9) зависимость.

Таким образом, в моменты tn = n(T/2) времени, где n = 0, 1, 2, …., плоская стоячая электромагнитная волна представляет собой (рис. 09.1.6) вектор EZ напряжённости электрического поля вдоль OZ оси, изменяющийся в зависимости от y координаты по (4.7) выражению. Вектор напряжённости HX магнитного поля вдоль OX оси в эти моменты tn = n(T/2) времени, где

n = 0, 1, 2, …., отсутствует, т. е. HX = 0.

В моменты tn = T/4 + n(T/2) времени, где n = 0, 1, 2, …., плоская стоячая электромагнитная волна представляет собой (рис. 09.1.9) вектор напряжённости HX магнитного поля вдоль OX оси, изменяющийся в зависимости от y координаты по (4.8) выражению.

Вектор EZ напряжённости электрического поля вдоль OZ оси в эти моменты

tn = T/4 + n(T/2) времени, где n = 0, 1, 2, …., отсутствует, т. е. EZ = 0.

У плоской стоячей электромагнитной волны в O координат, т. е. при y0 = 0, вектор

EZ напряжённости электрического поля (4.7) зависит от t времени в соответствии со следующим уравнением: EZ = E0cosky0cosωt = E0cosωt = E0cos(2π/T)t, (4.9)

т. е. в O координат вектор EZ напряжённости электрического поля в зависимости от t времени принимает значения от E0 до E0 с модулем, равным E0 амплитуде этого вектора EZ напряжённости электрического поля.

Вектор EZ напряжённости электрического поля в зависимости от t времени у плоской стоячей электромагнитной волны принимает значения от E0 до E0 с модулем, равным E0 амплитуде этого вектора EZ напряжённости электрического поля, на OY оси при yn = 0, ± λ/2, ± λ, …, т. е. при

yn = ± nλ/2, где n = 0, 1, 2, …., поскольку в (4.9) имеет место следующее соотношение:

coskyn = cos(2π)yn = ± 1. (4.10)

Поэтому при yn = ± nλ/2, где n = 0, 1, 2, …., вектор EZ напряжённости электрического поля имеет пучность своего значения.

Вектор EZ напряжённости электрического поля в зависимости от t времени у плоской стоячей электромагнитной волны принимает значения, равное нулю, на OY оси при

yn = ± λ/4, ± 3λ/4, …, т. е. при yn = ± λ(1 + 2n)/4, где n = 0, 1, 2, …., поскольку в (4.9) имеет место следующее соотношение: coskyn = cos(2π/λ)yn = 0. (4.11)

Поэтому при yn = ± λ(1 + 2n)/4, где n = 0, 1, 2, …., вектор EZ напряжённости электрического поля имеет узел своего значения.

Результирующее EZ (y, t) уравнение, по которому изменяется вектор EZ напряжённости электрического поля плоской стоячей электромагнитной волны в сечении с y координатой в произвольный момент t времени определяется суперпозицией бегущих плоских электромагнитных волн в (2.69) из раздела 02.0.0 "Колебания и волны" (4.1) положительную и (2.72) из раздела 02.0.0 "Колебания и волны" (4.2) отрицательную стороны OY оси, вследствие чего проекция EZ на OZ ось координат этого вектора напряжённости EZ электрического поля стоячей электромагнитной волны вдоль OZ оси имеет следующий вид:

EZ = EZ+ + EZ — = (E0/2)cos(ωt — ky) + (E0/2)cos(ωt + ky) = E0cos(ωt)cos(ky). (4.12)

Поскольку вектор напряжённости EZ электрического поля стоячей электромагнитной волны имеет только проекцию EZ на OZ ось координат, то в векторном виде (4.12) имеет следующий вид: EZ = E0 cos(ωt)cos(ky), (4.13) где E0 = kE0 вектор амплитуды напряжённости электрического поля плоской стоячей электромагнитной волны, а k орт декартовой системы координат по OZ оси.

Результирующее H(y, t) уравнение, по которому изменяется векторы напряжённости

HX магнитного поля вдоль OX плоской стоячей электромагнитной волны в сечении с y координатой в произвольный момент t времени определяется суперпозицией бегущих плоских электромагнитных волн в (2.69) из раздела 02.0.0 (4.2) положительную и (2.72) из раздела 02.0.0 "Колебания и волны" (4.5) отрицательную стороны OY оси, вследствие чего проекция HX на OX ось координат этого вектора напряжённости HX магнитного поля вдоль OX оси плоской стоячей электромагнитной волны имеет следующий вид:

HX = HX+ + HX — = (H0/2)cos(ωt — ky) — (H0/2)cos(ωt + ky) = H0sin(ωt)sin(ky). (4.14) Поскольку вектор напряжённости HX магнитного поля плоской стоячей электромагнитной волны имеет только проекцию HX магнитного поля, то в векторном виде (4.14) имеет следующий вид: HX = H0 sin(ωt)sin(ky), (4.15) где H0 = iH0 вектор амплитуды напряжённости магнитного поля плоской стоячей электромагнитной волны, а i орт декартовой системы координат по OX оси.

Согласно (4.15) вектор напряжённости HX магнитного поля плоской стоячей электромагнитной волны в зависимости от t времени у плоской стоячей электромагнитной волны принимает значения, равное нулю, на OY оси при yn = 0, ± λ/2, ± λ …, т. е. при yn = ± nλ/2,

где n = 0, 1, 2, …., поскольку в (4.9) имеет место следующее соотношение: sinkyn = sin(2π/λ)yn = 0. (4.16)

Поэтому при yn = ± nλ/2, где n = 0, 1, 2, …., вектор напряжённости HX магнитного поля плоской стоячей электромагнитной волны имеет узел своего значения. Вектор напряжённости HX магнитного поля в зависимости от t времени у плоской стоячей электромагнитной волны принимает значения от H0 до H0 с модулем, равным H0 амплитуде этого вектора напряжённости HX магнитного поля, на OY оси при yn = ± λ/4, ± 3λ/4, …, т. е. при

yn = ± λ(1+ 2n)/4, где n = 0, 1, 2, …., поскольку в (4.15) имеет место следующее соотношение:

sinkyn = sin(2π)yn = ± 1. (4.17)

Поэтому при yn = ± λ(1+ 2n)/4, где n = 0, 1, 2, …., вектор EZ напряжённости электрического поля имеет пучность своего значения.

У плоской стоячей электромагнитной волны (рис. 09.1.10) согласно (4.13) и (4.15) амплитудные значения, т. е. пучности, вектора

EZ напряжённости электрического поля вдоль OZ оси существуют на OY оси при yn = ± nλ/2 в моменты tn = n(T/2) времени, а амплитудные значения, т. е. пучности вектора напряжённости HX магнитного поля вдоль OX оси существуют на OY оси при yn ± λ(1 + 2n)/4 в моменты

tn = T/4 + n(T/2) времени, где n = 0, 1, 2, …..

Таким образом, пучности вектора EZ напряжённости электрического

 

поля вдоль OZ оси по t времени (рис. 09.1.10) смещены относительно пучностей вектора напряжённости HX магнитного поля вдоль OX оси на величину T/4 , где T период колебаний электромагнитной волны , а на OY оси эти пучности вектора EZ напряжённости электрического вдоль OZ оси смещены относительно пучностей вектора напряжённости HX магнитного поля вдоль OX оси на величину λ/4, где λ длина электромагнитной волны.

У плоской стоячей электромагнитной волны (рис. 09.1.10) согласно (4.13) и (4.15) нулевые значения, т. е. узлы вектора EZ напряжённости электрического поля вдоль OZ оси существуют на

OY оси при yn = ± λ(1 + 2n)/4 в моменты tn = T/4 + n(T/2) времени, а нулевые значения, т. е. узлы вектора напряжённости HX магнитного поля вдоль OX оси существуют на OY оси при yn = ± nλ/2 в моменты tn = n(T/2) времени, где n = 0, 1, 2, …..

Таким образом, узлы вектора EZ напряжённости электрического поля вдоль OZ оси по t времени (рис. 09.1.10) смещены относительно узлов вектора напряжённости HX магнитного поля вдоль OX оси на величину T/4, где T период колебаний электромагнитной волны, а на OY оси эти узлы вектора EZ напряжённости электрического вдоль OZ оси смещены относительно узлов вектора напряжённости HX магнитного поля вдоль OX оси на величину λ/4, где λ длина электромагнитной волны.

Задача 09.1.5

Электрический диполь (рис. 09.1.11) с известным и постоянным модулем pe вектора pe дипольного электрического момента вращают с известным ω модулем вектора

ω угловой скорости вокруг OO′ оси, которая перпендикулярна OO′′ оси электрического диполя и проходит через середину прямой линии, соединяющей отрицательный и

 

положительный заряды диполя. Найти среднюю <P> мощность излучения данного электрического диполя. Дано: pe, ω / P = ?

Вращение вектора pe дипольного электрического момента (5.61) из раздела 05.1.0 "Электростатика" с вектором ω угловой скорости вокруг OO′ оси, которая перпендикулярна OO′′ оси электрического диполя и проходит через середину прямой линии, соединяющей отрицательный и положительный заряды диполя, на рис. 09.1.12 осуществлено сложением двух векторов pe дипольного электрического момента. Каждый из двух (рис. 09.1.12) векторов pe1, pe2 дипольного электрического момента существует вследствие наличия двух электрических диполей. Электрический диполь с 1- ым номером представляет собой (9.87) из раздела 09.0.0 "Электромагнитные волны" неподвижный точечный положительный заряд и колеблющийся около него по OY оси с циклической ω частотой отрицательный заряд. Вектор pe1 дипольного электрического момента электрического диполя

(рис. 09.1.11) с 1- ым номером будет зависеть от t времени по следующему уравнению гармонических колебаний: pe1 = kpmcosωt, (5.1)

Электрический диполь (рис. 09.1.5) с 2- ым номером представляет собой (9.87) из раздела 09.0.0 "Электромагнитные волны" неподвижный точечный положительный заряд и колеблющийся около него по OY оси с циклической ω частотой отрицательный заряд.

Вектор pe2 дипольного электрического момента электрического диполя

(рис. 09.1.12) с 2- ым номером будет зависеть от t времени по следующему уравнению гармонических колебаний: pe2= — jpmsinωt, (5.2) где pm амплитудное значение вектора pe2 дипольного электрического

 

где pm амплитудное значение вектора pe1 дипольного электрического момента электрического диполя с 1- ым номером, которое имеет место при смещении точечного отрицательного заряда на (рис. 09.1.12) максимальное lm расстояние относительно неподвижного точечного положительного заряда вверх или вниз поOZ оси; k единичный вектор (1.1) из раздела 01.0.0 "Физические основы механики" по OZ оси.

момента электрического диполя с 2- ым номером, которое имеет место при смещении точечного отрицательного q — заряда на (рис. 09.1.11) расстояние lm относительно неподвижного точечного положительного заряда вправо или влево по OX оси; i единичный вектор (1.1) из раздела 01.0.0 "Физические основы механики" по OX оси.

Результирующий вектор pe дипольного электрического момента от двух электрических диполей равен сумме векторов pe1, pe2 дипольных электрических моментов электрических диполей с 1- ым и 2- ым номерами, вследствие чего выражение результирующего вектора pe дипольного электрического момента с учётом (5.1), (5.2) имеет следующий вид: pe = pe1 + pe2 = — jpmsinωt +kpmcosωt. (5.3)

В начальный t0 = 0 момент времени модуль pe результирующего вектора pe дипольного электрического момента от двух электрических диполей равен согласно (5.3) равен pm амплитудному значению вектора pe1 дипольного электрического момента электрического диполя с 1- ым номером, а направлен этот результирующий вектор pe дипольного электрического момента по OZ оси в соответствии с условием (рис. 09.1.11) данной задачи.

Проекции peY, peZ результирующего вектора pe дипольного электрического момента от двух электрических диполей согласно (5.3) соответственно на OY, OZ оси имеют следующий вид:

peY = pmsinωt; peZ = pmcosωt. (5.4)

Модуль pe (2.18) из раздела 02.0 "Колебания и волны" и (рис. 09.1.11) Ф фаза (2.19) из раздела 02.0.0 "Колебания и волны" с учётом (5.4) значений проекций peY, peZ результирующего вектора

pe дипольного электрического момента от двух электрических диполей имеют следующий вид:

pe = (peY2 + peZ2)1/2= pm; Ф = arctg(peZ/peY) = arctg(- ctgωt)= arctg{tg[(π/2) + ωt]} = [(π/2) + ωt]. (5.5)

Согласно (5.5) результирующий (рис. 09.1.12) вектор pe дипольного электрического момента от двух электрических диполей имеет постоянное значение pe модуля, а модуль ω вектора ω угловой скорости, с которой этот вектор вращается против часовой стрелки вокруг OO′ оси, тоже постоянен и соответствует условию задачи. Поэтому вращающийся вокруг OO′ оси электрический диполь

(рис. 09.1.11) с постоянным модулем pe вектора pe дипольного электрического момента и с постоянным вектором ω угловой скорости можно заменить суммой двух электрических диполей, каждый из которых представляет собой неподвижный точечный положительный заряд с колеблющимися около него по OX, OY осям с циклической ω частотой отрицательными зарядами.

Среднее (рис.09.0.12) из раздела 09.0.0 "Электромагнитные волны" значение < P > мощности P излучения, т. е. количество энергии, переносимой в среднем за Δt интервал времени электромагнитной волной через всю сферическую поверхность S площадью r радиуса, вызванное колеблющимся с циклической ω частотой электрическим диполем в волновой зоне этого электрического диполя, т. е. с r радиусом сферической поверхности S площадью много больше

(рис. 09.1.12) максимального lm расстояния между неподвижным точечным положительным зарядом с колеблющимся около него с циклической ω частотой отрицательным зарядом, с учётом (9.98) из раздела 09.0.0 "Электромагнитные волны" имеет следующий вид: <Р> = ω4pm 2/2πεε0v3, (5.6)

где v = 1/(εε0μμ0)1/2 — фазовая скорость электромагнитной волны в среде с ε диэлектрической проницаемостью и с μ магнитной проницаемостью.

Среднее значение <P>0 мощности P0 излучения от (рис. 09.1.12) двух электрических диполей, которые имеют одинаковые параметры, кроме направлений векторов pe1, pe2 дипольных электрических моментов, дающих в сумме результирующий вектор pe дипольного электрического момента от одного вращающегося электрического диполя, в 2 ва раза больше среднего (5.6) значения <P> мощности P излучения от одного электрического диполя, вследствие чего среднее значение <P>0 мощности P0 излучения от двух электрических диполей имеет следующий вид:

<P>0 = 2<Р> = ω4pm 2/6πεε0v3. (5.7)

Задача 09.1.6

В волновой зоне электрического диполя в вакууме, имеющего ось по OZ оси, на

r0 расстоянии от него в направлении максимального излучения по OY оси амплитуда вектора

EZ напряжённости электрического поля вдоль OZ оси у бегущих электромагнитных волн равна E0m.

Найти <S> среднее значение плотности потока энергии, переносимой бегущей электромагнитной волной, т. е. среднее <S> значение S модуля вектора S Пойнтинга этой электромагнитной волны, на r > r0 расстоянии в направлении, составляющем θ угол полярного расстояния с осью электрического диполя, равным 30°. Дано: r0, E0m, r, θ/<S> = ?

Амплитуда (9.98) из раздела 09.0.0 "Электромагнитные волны"

Eθm вектора E напряжённости электрического поля бегущей в вакууме плоской электромагнитной волны на r расстоянии в направлении, составляющем θ угол полярного расстояния с осью электрического диполя имеет следующий вид: Eθm = ω2pZmsinθ/4πε0rс2, (6.1) где ω — циклическая частота колебаний (1.19) из раздела 01.0.0 «Физические основы механики» q — отрицательного заряда

 

 

относительно неподвижного q+ положительного точечного заряда; pZm проекция (9.87) из раздела 09.0.0 "Электромагнитные волны" на OZ ось амплитудного значения вектора электрического момента диполя; c2 = 1/ε0μ0 квадрат скорости света в вакууме (9.9) из раздела 09.0.0 "Электромагнитные волны".

Подставляем c2 = 1/ε0μ0 квадрат скорости света в вакууме в (6.1) и (рис. 09.1.13) получаем следующее соотношение между (6.1) параметрами на r0 расстоянии от электрического диполя в вакууме в направлении его максимального излучения по OY оси, т. е. когда θ угол полярного расстояния с осью электрического диполя равен 90°:

Eθm|θ=90°; r= r0 = ω2pZmsinθ/4πε0rс2= ω2pZm/4πε0r0с2 ↔ ω2pZm/4π = E0mr0/μ0, (6.2) где E0m — амплитуда (9.89) из раздела 09.0.0 "Электромагнитные волны" Eθm вектора E напряжённости электрического поля бегущей в вакууме плоской электромагнитной волны на r0 расстоянии от электрического диполя в направлении его максимального излучения по OY оси, т. е. когда θ угол полярного расстояния с осью электрического диполя равен 90°.

Амплитуда (9.90) из раздела 09.0.0 "Электромагнитные волны" Hφm вектора

H напряжённости магнитного поля бегущей в вакууме плоской электромагнитной волны имеет следующий вид: Hφm = ω2pZmsinθ/4π. (6.3) Подставляем c = 1/(ε0μ0)1/2 скорость света в вакууме и (6.2) соотношение в (6.3) и

(рис. 09.1.13) получаем следующее выражение амплитуды Hφm вектора H напряжённости магнитного поля бегущей в вакууме плоской электромагнитной волны на r расстоянии от электрического диполя в направлении, составляющем θ угол полярного расстояния с осью электрического диполя:

Hφm = (ω2pZm/4π)(sinθ/rс) ↔ Hφm = (E0mr0/μ0)[(ε0μ0)1/2sinθ/r] = (E0mr0/r)(ε0/μ0)1/2sinθ. (6.4)

Подставляем c2 = 1/ε0μ0 квадрат скорости света в вакууме и (6.2) соотношение в (6.1) и

(рис. 09.1.13) получаем следующее выражение амплитуды (9.89) из раздела 09.0.0 "Электромагнитные волны" Eθm вектора E напряжённости электрического поля бегущей в вакууме плоской электромагнитной волны на r расстоянии в направлении, составляющем θ угол полярного расстояния с осью электрического диполя:

Eθm = ω2pZmsinθ/4πε0rс2 = (ω2pZm/4π)sinθ/ε0rс2 ↔ Eθm = (E0mr0/μ0)(ε0μ0)sinθ/ε0r = (E0mr0/r)sinθ. (6.5) Модуль S вектора (рис. 09.0.12) из раздела 09.0.0 "Электромагнитные волны" S Пойнтинга, т. е. количество энергии, переносимой электромагнитной волной в вакууме через поверхность, перпендикулярную направлению распространения электромагнитной волны и равной единичной площади за единицу t времени и в данный момент этого t времени от электрического диполя в вакууме с учётом направления векторов E, H напряжённостей электрического и магнитного поля электромагнитной волны в (рис. 09.0.13) произвольной M точке пространства по направлению соответственно eθ, eφ ортов в сферической системе координат имеет следующий вид:

S = Hφ= {- (ω2pZmsinθ/4πε0rс2)cos[ωt — (2πr/λ)]}{-(ω2pZmsinθ/4πrс)cos[ωt — (2πr/λ)]}, (6.6)

где Eθ = — (ω2pZmsinθ/4πεε0rс2)cos[ωt — (2πr/λ)] проекция (9.89) из раздела 09.0 "Электромагнитные волны" на направление eθ орта в сферической системе координат вектора E напряжённости электрического поля электромагнитной волны в произвольной M точке пространства в данный момент t времени, вызванного колеблющимся с ω циклической частотой (рис. 09.0.13) по OZ оси координат электрическим диполем; Hφ = -(ω2pZm sinθ /4πrс)cos[ωt — (2πr/λ)] — проекция (9.90) из раздела 09.0.0 "Электромагнитные волны" на направление eφ орта в сферической системе координат вектора H напряжённости магнитного поля электромагнитной волны в произвольной M точке пространства в данный момент t времени, вызванного колеблющимся с ω циклической частотой

(рис. 09.0.13) по OZ оси координат электрическим диполем.

Подставляем в (6.6) амплитуды (6.5) Eθm вектора E напряжённости электрического поля и (6.4) Hφm вектора H напряжённости магнитного поля, вследствие чего получаем следующее выражение модуля S вектора S Пойнтинга бегущей в вакууме плоской электромагнитной волны на r расстоянии в направлении, составляющем θ угол полярного расстояния с осью электрического диполя:

S = Hφ= {- (ω2pZmsinθ/4πε0rс2)cos[ωt — (2πr/λ)]}{-(ω2pZmsinθ /4πrс)cos[ωt — (2πr/λ)]} = = (- Eθm)( — Hφm ) cos2[ωt — (2πr/λ)] ↔ S = (E0mr0/r)2(ε0/μ0)1/2sin2θcos2[ωt — (2πr/λ)], (6.7)

Для модуля S вектора S Пойнтинга (9.92) из раздела 09.0.0 "Электромагнитные волны" его

<S> среднее значение за Δt интервал времени в волновой зоне электрического диполя, где бегущая в вакууме электромагнитная волна становится плоской, с r радиусом вектором, проведённым из центра этого электрического диполя в (рис. 09.0.13) произвольную M точку пространства в вакууме, с учётом (6.7) имеет следующий вид: Δt Δt <S> = S/Δt}dt ↔ <S> = [(E0mr0/r)2(ε0/μ0)1/2sin2θ]/Δt]∫cos2[ωt — (2πr/λ)]dt] =

0 0

= [(E0mr0/r)2(ε0/μ0)1/2sin2θ]/Δt]{(t/2)|0 Δt + (1/4ω)sin2[ωt — (2πr/λ)] |0 Δt } = [(E0mr0/r)2(ε0/μ0)1/2sin2θ]/Δt]{(Δt/2) + + (1/4ω)sin2[ωΔt — (2πr/λ)]+ (1/4ω)sin(4πr/λ) = [(E0mr0/r)2(ε0/μ0)1/2sin2θ]/Δt]{(Δt/2) + + (1/4ω)sin2[(2π/T)Tn — (2πr/λ)] + (1/4ω)sin(4πr/λ) = [(E0mr0/r)2(ε0/μ0)1/2sin2θ]/Δt]{(Δt/2) + + (1/4ω)sin[(4πn — (4πr/λ)] + (1/4ω)sin(4πr/λ) = [(E0mr0/r)2(ε0/μ0)1/2sin2θ]/Δt][(Δt/2) — (1/4ω)sin(4πr/λ) + + (1/4ω)sin(4πr/λ)] = [(E0mr0/r)2(ε0/μ0)1/2sin2θ]/Δt](Δt/2) = [(E0mr0/r)2(ε0/μ0)1/2sin2θ]/2, (6.8)

Δt

где cos2[ωt — (2πr/λ)]dt] = Δt/2; ω= 2π/T циклическая частота колебаний векторов напряжённостей

0

EZ+ электрического поля вдоль OZ оси и HX+ магнитного поля вдоль OX оси бегущей плоской электромагнитной волны; Δt = Tn где n = 1, 2, …., интервал времени, кратный T периоду колебаний электромагнитной волны, за который производят вычисление <S> среднего значения модуля S вектора S Пойнтинга.

По измеренному значению E0m амплитуды вектора EZ напряжённости электрического поля вдоль OZ оси у бегущих электромагнитных волн на r0 расстоянии от электрического диполя в направлении его максимального излучения по OY оси можно согласно (6.8) вычислить <S> среднее значение модуля S вектора S Пойнтинга в волновой зоне этого электрического диполя, где бегущая в вакууме электромагнитная волна становится плоской, с r радиусом вектором, проведённым из центра электрического диполя в (рис. 09.0.13) произвольную M точку пространства в вакууме.

Среднее <S>значение модуля S вектора S Пойнтинга в волновой зоне электрического диполя это количество энергии, переносимой электромагнитной волной в вакууме через поверхность, перпендикулярную направлению распространения электромагнитной волны и равной единичной площади за единицу t времени.

Задача 09.1.7

Заряженная частица совершает гармонические колебания, т. е.движется в вакууме вдоль OZ оси согласно следующему уравнению: z = lcosωt, где l — амплитудное значение расстояния q+ этой частицы в начальный момент t0 = 0 времени относительно O начала координат; ω — циклическая частота гармонических колебаний заряженной частицы относительно O начала координат, а M точка

 

 

находится на r расстоянии по OY оси, намного превышающем значение l амплитуды колебаний заряженной частицы, т. е. r>> l. Найти отношение S1/S2 модулей плотностей потока электромагнитного излучения в этой M точке в моменты tk1, tk2 времени, когда координаты колебаний заряженной частицы равны соответственно z1 = 0, z2 = l. Дано: ω, l, z1, z2/ S1/S2 = ?

Модуль pQ вектора (рис. 09.0.14) pQ дипольного электрического момента (9.74) из раздела 09.0.0 "Электромагнитные волны" полного Q заряда, имеющего z координату, имеет следующий вид:

pQ = Qz ↔ pQ = Qlcosωt. (7.1) Модуль S вектора S Пойнтинга (9.93) из раздела 09.0.0 "Электромагнитные волны" плотностей потока электромагнитного излучения, т. е. количество энергии, переносимое в вакууме электромагнитной волной через поверхность, перпендикулярную направлению распространения электромагнитной волны и равной единичной площади за единицу t времени и в данный момент этого t времени от колеблющегося (рис. 09.0.14) по OZ оси Q заряда в M точке, которая находится на r расстоянии по OY оси, имеет следующий вид: S = (pQ′′sinθ/4πr)2(1/εε0c3), (7.2)

где pQ′′ = ∂2{Qlcosω[t — (r/c)]}/∂t2 = Qlω2cosω[t — (r/c)] модуль второй производной по

t времени вектора pQ дипольного электрического момента Q заряда, колеблющегося по OZ оси, учитывающая величину Q[t — (r/c)] заряда шара V объёмом, который был раньше данного момента

t времени на величину τ = r/c временного запаздывания, за которое электромагнитная волна с

c = 1/(ε0μ0)1/2 фазовой скоростью распространится от этого заряженного шара V объёмом до M точки, в которой определяется модуль S вектора S Пойнтинга; θ = π/2 угол (рис. 09.0.8) из раздела 09.0.0 "Электромагнитные волны" полярного расстояния в сферической системе координат.

Моменты tk1 времени, когда координата колеблющейся заряженной частицы равна z1 = 0, определятся из следующего уравнения: 0 = lcosωtk1 ↔ ωtk1 = (π/2)(2k + 1) ↔ (2π/T)tk1= (π/2)(2k + 1) ↔ ↔ tk1 = (T/4)(2k + 1), (7.3) где k = 0, 1, 2, ….; T — период (2.3) из раздела 02.0.0 "Колебания и волны" гармонических колебаний заряженной частицы.

Подставляем (7.3) в (7.2) и получаем следующее выражение модуля ptk1Q′′ второй производной вектора pQ дипольного электрического момента Q заряда, колеблющегося по OZ оси, в моменты

tk1 времени: ptk1Q′′ = Qlω2cosω[tk1- (r/c)] = Qlω2cosω[(T/4)(2k + 1) — (r/c)] =

= Qlω2cos[(π/2)(2k + 1) — (ωr/c)] = Qlω2sin[(π/2)(2k + 1) — (π/2)(2k + 1) + (ωr/c)] = Qlω2sin(ωr/c)]. (7.4) Моменты tk2 времени, когда координата колеблющейся заряженной частицы равна z1 = l, определятся из следующего уравнения: l = lcosωtk2 ↔ ωtk2 = 2πk ↔ (2π/T)tk2 = 2πk ↔ tk2 = Tk, (7.5) где k = 0, 1, 2, ….; T — период (2.3) из раздела 02.0.0 "Колебания и волны" гармонических колебаний заряженной частицы.

Подставляем (7.5) в (7.2) и получаем следующее выражение модуля ptk2Q′′ второй производной вектора pQ дипольного электрического момента Q заряда, колеблющегося по OZ оси, в моменты

tk2 времени: ptk2Q′′ = Qlω2cosω[tk2- (r/c)] = Qlω2cosω[Tk — (r/c)] = Qlω2cos[2πk — (ωr/c)] = = Qlω2 cos(ωr/c). (7.6) Подставляем (7.6), (7.4) в (7.2) и получаем следующее выражение S tk1/S tk2 отношения модулей векторов S tk1, S tk2 Пойнтинга плотностей потока электромагнитного излучения в вакууме в моменты tk1, tk2 времени, когда координаты колеблющейся заряженной частицы равны соответственно z1 = 0, z2 = l: S tk1/S tk2 = (ptk1Q′′sinθ/4πr)2(1/εε0c3)/(ptk2Q′′sinθ/4πr)2(1/εε0c3) = tg2(ωr/c). (7.7)

Наташа

Автор

Наташа — контент-маркетолог и блогер, но все это не мешает ей оставаться адекватным человеком. Верит во все цвета радуги и не верит в теорию всемирного заговора. Увлекается «нефрохиромантией» и тайно мечтает воссоздать дома Александрийскую библиотеку.

Другие статьи


Распродажа дипломных

Скидка 30% по промокоду Diplom2020

А ты боишься COVID-19?

Пройди опрос и получи промокод