Четырехмерный вектор скорости частиц

(1.8.2)

Дальше наибольшее применение получат тензоры второго ранга. Оказывается, что тензоры второго ранга могут быть симметричными и антисимметричными.

Оказывается, что любой тензор второго ранга можно представить в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров. Запишем произвольный тензор Тμν в виде:

(1.8.3)

где .

Особый интерес представляют антисимметричные тензоры. Они обладают свойством, что у них все диагональные элементы равны 0, т. е. .

Таким образом, произвольный антисимметричный тензор имеет вид:

(1.8.4)

Одним замечательным свойством тензоров такого рода является то, что если взять скалярное произведение антисимметричного тензора с двумя одинаковыми векторами, то оно будет равно нулю: . Докажем это:

(1.8.5)

Антисимметричные тензоры, как и все четырехмерные векторы могут быть пространственноподобными:

(1.8.6)

У всех антисимметричных тензоров между пространственноподобными компонентами существует связь: , где — символ Леви-Чевита.

Обратное соотношение имеет вид: .

§ 1.9. Преобразование Лоренца для антисимметричного тензора

Как мы уже выяснили, любой антисимметричный тензор преобразуется по закону:

(1.9.1)

Вспомним, что

(1.9.2)

Распишем одну из компоненту антисимметричного тензора по правилу. Получим

Следовательно, , т. е. продольная компонента не преобразуется.

Проведя такие же вычисления для остальных компонент антисимметричного тензора, получим

(1.9.3)

Таким же образом получены

(1.9.4)

§ 1.10. Электромагнитные потенциалы и поля

Если в определении произвольного четырехмерного вектора за нулевую компоненту принять скалярный потенциал φ, а за векторную компоненту — трехмерный вектор-потенциал, то мы получим определение четырехмерного вектора-потенциала . С помощью этого вектора можно определить тензор напряженностей электромагнитного поля:

. (1.10.1)