Закон полного тока в вакууме

При конечном перемещении проводника с током, имеющего конечные размеры, выражения работы силы Ампера через заметённый магнитный поток и, соответственно, через изменение потокосцепления имеют вид:

§20.3. Закон полного тока (теорема Стокса) в вакууме

Как известно, электростатическое поле потенциально, поскольку циркуляция напряжённости электростатического поля по произвольному замкнутому контуру L

.

Вопрос с циркуляцией в вакууме будем решать на примере поля, созданного бесконечным прямым проводником с током, а потом бездоказательно обобщим на произвольное магнитное поле.

Сначала в качестве замкнутого контура L возьмём силовую линию, отстоящую от тока на расстояние r.

Рис.20.4

Теперь рассмотрим произвольный контур, охватывающий ток.

Рис.20.5

Поскольку вектор в любой точке контура направлен по касательной к концентричной току окружности, то составляющая элемента контура , сонаправленная с , . Тогда

.

.

Договоримся, что если направление тока в проводнике согласуется с направлением обхода контура по правилу правого винта, то для данного контура ток положителен, а если нет, то отрицателен.

Предположим, что замкнутый контур не охватывает проводник с током.

Рис.20.6

Обобщим полученные результаты на произвольную конфигурацию тока и запишем общее правило: циркуляция вектора по любому контуру, охватывающему проводник с током, равна произведению магнитной постоянной вакуума на силу тока, снабжённому знаком в соответствие с правилом правого винта.

В случае, если магнитное поле создаётся несколькими проводниками с током, то общее поле находится в соответствие с принципом суперпозиции, следовательно,

Таким образом, мы получаем закон полного тока:

,

где охваченный контуром полный ток равен алгебраической сумме токов, пронизывающих поверхность, натянутую на этот контур.

В случае непрерывного распределения вектора плотности тока по плоскости контура закон полного тока называется теоремой Стокса:

Циркуляция вектора магнитной индукции по данному контуру равна потоку вектора плотности тока через поверхность, натянутую на контур и ориентированную по направлению обхода контура в соответствие с правилом правого винта.

§20.4. Поле тороида

На основании закона полного тока выведем формулы, магнитного поля тороида и длинного соленоида.

Тороид — это кольцевая катушка с током, витки которой равномерно намотаны на сердечник, имеющий форму тора.

Если витки катушки расположены вплотную, то тороид можно приближённо рассматривать как систему большого числа плотно уложенных одинаковых витков с токами, идущими в одном направлении.

Рис.20.7

Центры витков лежат на центральной линии тора (на рисунке 20.7 показана пунктиром) и имеют радиус (R2-R1)/2.

Из соображений цилиндрической симметрии относительно оси тора понятно, что магнитные силовые линии представляют собой концентрические окружности, центры которых лежат на оси тора. Тогда для контура, совпадающего с силовой линией радиуса r, циркуляция . При r<R1 поверхность, натянутую на контур, не пересекает ни один проводник с током, следовательно =0 и В=0. При r>R2 поверхность, натянутую на контур, каждый виток пересекает дважды: один раз в положительном, другой раз в отрицательном направлениях, следовательно, и В тоже равны 0. Поэтому поле тороида локализовано внутри него. Для R1<r< R2 , где N — число витков тороида. Тогда , следовательно,